فیثاغورث یک ریاضیدان یونانی بود که در حدود 570 سال قبل از میلاد می زیست. حتی با ابزارهای نسبتاً بدوی که در اختیار داشت، او توانست یک قضیه (theorem) را کشف و فرموله کند که یکی از مشهورترین قضایای ریاضی گردد: قضیۀ فیثاغورث.







شما می توانید با قضیۀ فیثاغورث رو به عقب نیز کار کنید. به عنوان مثال، اگر ندانید چه نوع مثلثی دارید، و اضلاع یک مثلث عبارت از \(3\)، \(4\)، و \(5\) باشند، آن گاه آن مثلث باید یک مثلث قائم الزاویه باشد، زیرا:
$$3^2+4^2=5^2 \\
9 + 16 = 25$$
مجموع مربع دو ضلع کوتاهتر، که ساق ها نامیده می شوند، برابر است با مربع ضلع طولانی تر، که وتر نامیده می شود.

سه تائی فیثاغورثی (Pythagorean triple)

یک سه تائی فیثاغورثی که به آن اعداد فیثاغورثی نیز گفته میشود، لیستی از سه عدد می باشد که در قضیۀ فیثاغورث درست کار می کنند ـــ مربع عدد بزرگتر برابر با مجموع مربع های دو عدد کوچکتر است. مضرب های هر سه تائی فیثاغورثی (هر کدام از این اعداد سه تائی در عدد یکسانی ضرب گردد) نیز یک سه تائی فیثاغورثی می باشند. به نظر می رسد که آنها خودشان را بازتولید می کنند.


جدول 1-6 برخی از رایج ترین سه تائی های فیثاغورثی و برخی از مضرب های آنها را نشان می دهد.


در اینجا چگونگی درست آزمایی یک سه تائی و مضرب آن را با استفاده از قضیۀ فیثاغورث می بینید. سه تائی \(9-40-41\) را امتحان کنید:

1. \(a\)، \(b\)، و \(c\) را به ترتیب با \(9\)، \(40\)، و \(41\)، جایگزین کنید. $$9^2+40^2=41^2 \\
   81+1,600=1,681$$
   
2. سپس، \(a\)، \(b\)، و \(c\) را با سه تائی \(9-40-41\) که در \(3\) ضرب شده است، جایگزین کنید (که \(27-120-123\) می شود). $$27^2+120^2=123^2 \\
   729+14,400=15,129$$
   

حل کردن برای یک طول مجهول

یکی از خصوصیت های زیبای مثلث های قائم الزاویه این حقیقت است که اگر طول دو تا از اضلاع آن را داشته باشید، می توانید طول ضلع سوم آن را بدست آوردید. در مورد هیچکدام از سایر مثلث ها از این موهبت برخوردار نمی باشید، پس شکرگذار این نعمت باشید.

تمرین کردن بر روی مثلث ها

قضیۀ فیثاغورث بیان می دارد که در یک مثلث قائم الزاویه که در آن \(c\) طولانی ترین ضلع باشد، داریم \(a^2+b^2=c^2\) . شما می توانید برای محاسبۀ طول یک ضلع، در صورتیکه طول دو ضلع دیگر را داشته باشید، از این معادله استفاده کنید. شکل 4-6 دو مثلث قائم الزاویه را نشان می دهد که هر کدامشان یک ضلع مجهول دارند.


در مثلث سمت چپ در شکل 4-6 ، اندازۀ وتر ناپیدا است. از قضیۀ فیثاغورث برای بدست آوردن آن استفاده کنید.

1. متغیرهای موجود در این قضیه را با مقادیر ضلع های معلوم، جایگزین کنید. $$48^2+14^2=c^2$$
   
2. این اندازه ها را مربع سازید و با یکدیگر جمع بزنید. $$
   2,304+196=c^2 \\
   2,500=c^2 \\
   \sqrt{2,500}=\sqrt{c^2} \\
   50 = c
   $$
   

طول ضلع مجهول، \(c\)، که وتر می باشد، برابر با \(50\) است.

در مثلث سمت راست در شکل 4-6 ، ضلع پایین ناپیدا می باشد، اما شما طول وتر آن را دارید. مهم نیست که این ضلع مجهول را \(a\) یا \(b\) بنامید.

1. متغیرهای موجود در قضیه را با مقادیر اضلاع معلوم، جایگزین کنید. $$33^2+b^2=183^2$$
   
2. این اندازه ها را مربع سازید، و \(1,089\) را از هر دو سمت آن تفریق کنید. $$1,089 + b^2 =33,489 \\
   b^2 = 32,400$$
   
3. جذر هر دو سمت را بیابید. $$\sqrt{b^2}=\sqrt{32,400} \\
   b = 180$$
   

طول ضلع مجهول برابر با \(180\) واحد می باشد. این ضلع خیلی کوتاهتر از وتر نمی باشد، اما هنوز هم نشان می دهد که وتر دارای طولانی ترین اندازه می باشد.

یافتن مسافت اینسو تا آنسوی یک حوضچه

مثلثات برای یافتن مسافت هایی که شما نمی توانید برای اندازه گیری تا آنجا برسید، بسیار سودمند می باشد. فرض کنید شما می خواهید یک کابل را به صورت مورب از این سو به آنسوی یک حوضچه بکشید (تا بتوانید مجموعه ای از نخ های ماهیگیری و قلاب ها را به آن متصل سازید). این مسافت مورب، وتر یک مثلث قائم الزاویه می باشد. شما می توانید دو ضلع دیگر آن را در امتداد ساحل اندازه گیری کنید. شکل 5-6 این حوضچه و مثلث قائم الزاویۀ فرضی را که شما برای محاسبۀ طول کابل مورد نیاز، مورد استفاده قرار می دهید، به شما نشان می دهد.


دو ضلع این مثلث که می توانید اندازه گیری کنید، طول و عرض این حوضچه، برابر با \(40\) فوت و \(96\) فوت می باشند. اینها دو ساق یک مثلث قائم الزوایه می باشند. از قضیۀ فیثاغورث برای بدست آوردن وتر، که مسافت مورب اینسو تا آنسوی این حوضچه می باشد، استفاده کنید.

1. متغیرهای این قضیه را با مقادیر اضلاع معلوم جایگزین کنید. $$40^2+96^2=c^2$$
   
2. این اندازه ها را مربع سازید، و آنها را با یکدیگر جمع بزنید. $$1,600+9,216=c^2 \\
   10,816=c^2$$
   
3. جذر این مجموع را بیابید. $$
   \sqrt{10,816}=\sqrt{c^2} \\
   104=c
   $$
   

از اینسو تا آنسوی این حوضچه به صورت مورب برابر با \(104\) فوت می باشد. کابلتان را بکشید و به ماهیگیری بروید!