در اوایل مثلثات کاربردهای بسیار زمینی داشت ـــ نقشه کشان و مهندسان برای قرنها آن را مورد استفاده قرار داده اند. به تدریج، اخترشناسان و دریانوردان در سفرهای دور دنیا از مثلثات برای حل کردن بسیاری از رازها اینجا بر روی زمین و در فضای بیرون از جو زمین استفاده نمودند. آنها زوایا را با رویت اشیاء در آسمان و ترسیم جدول حرکت آنها برآورد یا اندازه گیری می کردند. سپس از زاویه بین یک رویت و رویت دیگر برای بدست آوردن مسافت هایی که غیرقابل رسیدن بودند، استفاده می کردند.

مشاهدۀ یک بالون

سیندی (Cindy) و میندی (Mindy)، که در فاصلۀ یک مایلی از یکدیگر ایستاده بودند، یک بالون هوای گرم را درست در بالا و یک نقطۀ خاص از زمین بینشان دیدند. زاویۀ فراز از سیندی تا بالون برابر با \(60\) درجه است؛ زاویۀ فراز از میندی تا بالون برابر با \(70\) درجه است. شکل 7-10 یک نمایش بصری از این موضوع است. ارتفاع این بالون چقدر است؟


اگر به شکل 7-10 دقت کنید، می توانید ببینید که دو مثلث قائم الزاویه شکل گرفته اند. این دو مثلث ضلعی را به اشتراک گذاشته اند ـــ ضلعی که روبروی زاویۀ اندازه گیری شده در هر کدام از مثلثها می باشد. طول این ضلع مشترک را \(y\) بنامید. دو ضلع مجاور در این مثلثها مجموعاً \(1\) مایل می باشند، بنابراین شما می توانید متغیرها را در کمینه ترین حالت ممکن نگهدارید، به این شکل که یکی از این اضلاع را \(x\) و ضلع دیگر را \(1-x\) بنامید. شکل 8-10 این مثلث را با این متغیرها نشان می دهد.


برای فهمیدن اینکه ارتفاع این بالون چقدر می باشد، این مراحل را دنبال کنید:

1. بخش هایی از این مثلث را که می توانید برای حل این مسأله مورد استفاده قرار دهید، شناسایی کنید.
   در هر دوی این مثلثها، شما متغیرهایی برای اضلاع مجاور و روبروی زاویه های حادۀ فراز دارید.
   
   
2. تعیین کنید که از کدام تابع مثلثاتی باید استفاده کنید.
   نسبت تانژانت از اضلاع روبرو و مجاور استفاده می کند.
   
   
3. معادلاتی را با این توابع مثلثاتی بنویسید. $$
   \tan 60^{\circ} = \frac{\text{opp}}{\text{adj}} = \frac{y}{x} \\
   \tan 60^{\circ} = \frac{y}{x} \\
   \tan 70^{\circ} = \frac{\text{opp}}{\text{adj}} = \frac{y}{1-x} \\
   \tan 70^{\circ} = \frac{y}{1-x}
   $$
   
4. با برابر هم قرار دادن این معادلات، آنها را برای بدست آوردن \(x\) حل کنید.
   ابتدا هر کدام از این معادلات را برای \(y\) حل کنید.
   $$
   \tan 60^{\circ} = \frac{y}{x} \\
   x \tan 60^{\circ} = y \\
   \tan 70^{\circ} = \frac{y}{1-x} \\
   (1-x) \tan 70^{\circ} = y
   $$
   این دو معادله را برابر با یکدیگر قرار دهید و آنها را برای یافتن \(x\) حل کنید.
   $$
   x \cdot \tan 60^{\circ} = (1-x)\tan 70^{\circ} \\
   x \cdot \tan 60^{\circ} = \tan 70^{\circ} - x \tan 70^{\circ} \\
   x \cdot \tan 60^{\circ} + x \cdot \tan 70^{\circ} = \tan 70^{\circ} \\
   x(\tan 60^{\circ} + \tan 70^{\circ}) = \tan 70^{\circ} \\
   x = \frac{\tan 70^{\circ}}{\tan 60^{\circ} + \tan 70^{\circ}}
   $$
   
5. معادله را برای بدست آوردن مقدار \(x\) حل کنید.
   شما مقدار \(x\) را با یافتن مقادیر این توابع با استفاده از ماشین حساب یا ضمیمۀ کتاب، بدست می آورید. با انجام این کار، شما درخواهید یافت که \(x\) تقریباً برابر با \(0.613\) مایل می باشد. این مقدار را در یکی از معادلات قرار دهید تا آن معادله را برای بدست آوردن \(y\) حل کنید:
   $$
   x \cdot \tan 60^{\circ} = y \\
   (0.613) \cdot \tan 60^{\circ} = y \\
   (0.613)(1.732) = y \\
   1.062=y
   $$
   ارتفاع این بالون \(1.062\) مایل می باشد.
   

دنبال کردن مسیر حرکت یک موشک

در این مثال، یک موشک شلیک می شود و به صورت عمودی سفر می کند، در همین حال یک دانشمند از فاصلۀ یک مایلی، پرواز آن را مشاهده می کند. یک ثانیه بعد از پرواز، زاویۀ فراز این موشک برابر با \(30\) درجه بود. دو ثانیه بعد، این زاویۀ فراز برابر با \(60\) درجه بود. در مدت این دو ثانیه این موشک چه مسافتی را پیموده است؟ شکل 9-10 این موشک را در حالت برخاستن به صورت عمودی نشان می دهد.

1. بخشهایی از این مثلث ها را که می توانید برای حل کردن این مسأله مورد استفاده قرار دهید، شناسایی کنید.
   در شکل 9-10 شما دو مثلث قائم الزاویه می بینید. یکی از این مثلث ها روی دیگری قرار گرفته است و یک ضلع را با آن به اشتراک گذارده است ـــ ضلع مجاور. در هر دوی این مثلثها، اضلاع مربوطه، اضلاع مجاور و روبروی زاویۀ فراز می باشند.
   
   
2. تعیین کنید که از کدام تابع مثلثاتی باید استفاده کنید.
   نسبت تانژانت از اضلاع مجاور و روبرو استفاده می کند.
   
   
3. معادلاتی را با این توابع مثلثاتی بنویسید. $$
   \tan 30^{\circ} = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}=\frac{x}{1}=x \\
   \tan 60^{\circ} = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}=\frac{x+y}{1}=x +y
   $$
   
4. این معادلات را برای بدست آوردن مقادیر \(x\) و \(y\) حل کنید.
   تانژانت \(30\) درجه و \(60\) درجه، مقادیر راحتی هستند. اگر به ضمیمۀ این کتاب مراجعه کنید، خواهید دید که این تانژانت ها بدین شرح هستند:
   $$
   \tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}=x \\
   \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}=x+y
   $$
   مقدار \(y\) مسافتی است که این موشک بین رویت اول و دوم طی می کند، بنابراین، با حل کردن معادله برای \(y\) به نتیجه زیر می رسید:
   $$y=x+y-x=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.155$$
   این راکت ظرف دو ثانیه در حدود \(1.155\) مایل بالا رفته است.
   

اندازه گیری دید دوربین های ماهواره ای

ماهواره ای را در نظر بگیرید که در یک ارتفاع \(750\) مایلی در مدار زمین می چرخد. زمین دارای شعاع \(3,950\) مایل می باشد. دوربین های این ماهواره در هر جهت تا چه محدوده ای را می توانند ببینند؟ شکل 10-10 این ماهواره و طول میدان دید این دوربین ها را با توجه به انحنای زمین نشان می دهد.

1. بخش هایی از این مثلث را که می توانید برای حل کردن این مسأله مورد استفاده قرار دهید، شناسایی کنید.
   از آنجا که خط دید یک ماهواره بر روی انحنای زمین مماس می باشد، و خط های مماس بر روی یک دایره با شعاع آن دایره زوایای \(90\) درجه را شکل می دهند، شما می توانید دو مثلث قائم الزاویه را در شکل 10-10 تشخیص بدهید. دو ضلع زاویۀ \(\theta\) برابر با شعاعی که خط مماس این دایره را لمس می کند و شعاع دیگر بعلاوۀ پاره خطی که از شعاع دایره تا ماهواره امتداد می یابد، می باشند. این اضلاع ضلع مجاور و وتر این مثلث قائم الزاویه با زاویۀ حادۀ \(\theta\) می باشند.
   
   
2. تعیین کنید که از کدام تابع مثلثاتی استفاده می کنید.
   ضلع مجاور (adjacent side) و وتر (hypotenuse) بخشهایی از نسبت کسینوس \(\theta\) می باشند.
   
   
3. معادله ای با این تابع مثلثاتی بنویسید؛ سپس مقادیر معلوم را در آن جایگذاری کنید و آن را برای بدست آوردن کسینوس \(\theta\) حل کنید.
   اندازۀ ضلع مجاور برابر با \(3,950\) مایل می باشد، و وتر برابر با مجموع شعاع و ارتفاع ماهواره می باشد: \(3,950+750=4,700\) مایل.
   $$\cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}=\frac{3,950}{4,700} \approx 0.8404$$
   
4. مقدار \(\theta\) را تعیین کنید.
   به ضمیمۀ کتاب مراجعه کنید تا دریابید که زاویه ای که کسینوس آن نزدیکترین به \(0.8404\) است، چه زاویه ای می باشد. نزدیکترین درجه، یک زاویۀ \(33\) درجه است که این کسینوس را دارد.
   
   
5. تعیین کنید که چه میزانی از محیط زمین در هر جهت توسط این ماهواره پوشش داده شده است.
   خط دید این ماهواره در هر جهت \(33\) درجه است، یا مجموعاً \(66\) درجه است، که برابر با \(\frac{66}{360}\) از محیط کل این دایره است (زیرا کل پیرامون دایره برابر با \(360\) درجه است). اگر شعاع زمین برابر با \(3,950\) مایل باشد، آن گاه شما می توانید این عدد را در معادلۀ محیط دایره جایگذاری کنید:
   $$C=2\pi r=2(3.14)(3,950) \approx 24,819$$
   اکنون محیط زمین را داریم. پس، محدوده ای که این ماهواره می تواند پویش کند، برابر با \(\frac{66}{360} \cdot 24,819 \approx 4,550\) می باشد.