مدیر یک شرکت پوشاک در حال تجزیه و تحلیل هزینه ها، درآمدها، و سود و زیانش، جهت برنامه ریزی برای سال پیش رو می باشد. سال گذشته، قیمت نوع خاصی از کُت زمستانیِ بچه گانه \($40\) بود، و این شرکت \(10,000\) عدد از آنها را فروخت. تحقیقات بازار نشان می دهند که به ازاء هر \($2\) کاهش قیمت، مدیر این مجموعه می تواند انتظار \(500\) فروش بیشتر، از این کُت را داشته باشد.

1. درآمد مورد انتظار را به شکل تابعی از تعداد کاهش قیمتها، مدلسازی کنید.
   
2. بدون ترسیم نمودار، ماکزیمم درآمد ممکن و قیمتی که منجر به این درآمد می گردد را تعیین کنید.
   
3. نمودار این تابع را ترسیم کنید تا درستی پاسختان را تایید نمایید.
   
4. در این وضعیت، عرض از مبدأ تابع، چه چیزی را نشان می دهد؟ طول از مبدأها چه چیزی را نشان می دهند؟
   
5. در این وضعیت دامنه و برد این تابع چه می باشند؟
   
6. برخی مفروضات را که مدیر این مجموعه در استفاده از این تابع برای مدلسازیِ درآمد مورد انتظار در نظر می گیرد، توضیح دهید.
   

پاسخ

1. اجازه دهید \(n\) نشان دهندۀ تعداد کاهش قیمتها باشد. در اینصورت، قیمت جدید برابر با \($40 - 2n\) خواهد بود.
   تعداد کت های فروخته شدۀ جدید برابر با \(10,000+500n\) خواهد بود.
   اجازه دهید \(R\) نشان دهندۀ درآمد مورد انتظار به دلار باشد، خواهیم داشت:
   $$
   \text{Revenue} = (\text{price})(\text{number of sessions})
   $$
   
   \(\text{Revenue}\): درآمد
   \(\text{price}\): قیمت
   \(\text{number of sessions}\): تعداد کت های فروخته شده
   
   $$
   R=(40-2n)(10,000+500n)\\
   R=-1,000n^2+400,000
   $$
   
2. تابع \(R=-1,000n^2+400,000\) در شکل رأس می باشد. ماکزیمم درآمد مورد انتظار \($400,000\) می باشد و هنگامی به این درآمد می رسیم که قیمت هر کت برابر با \(40-2(0)\) یا بعبارتی همان \($40\) باشد.
   
   
3. 
   
   
4. در این وضعیت عرض از مبدأ ماکزیمم درآمد را نشان می دهد. طول از مبدأ مثبت، تعداد کاهش قیمتها که منجر به این درآمد می شوند را نشان می دهد.
   
   
5. دامنه: \(\{x| 0 \le x \le 20, x \in R \}\)
   برد: \(\{y| 0 \le y \le 400,000, y \in R \}\)
   
   
6. پیش فرض مدیر این مجموعه اینست که تحقیقات بازار نتایج صحیحی را نشان دهند و پیش بینی ها درست از آب در بیایند.