جشنوارۀ صیادان مانیتوبای شمالی (The Northern Manitoba Trapper’s Festival) در شهر پاس (Pas) برگزار می شود. این جشنواره از سال \(1916\) آغاز شد. مسابقۀ قهرمانی دو سگ ها همواره بخش مهمی از این جشن ها بوده است. اوایل این مسابقه به این نحو بوده است که سگ ها باید بدون توقف از شهر پاس تا شهر فلین فلان (Flin Flon) می دویدند و سپس این مسیر را بر می گشتند.


در یک مسابقۀ خاص، مسافت کل برابر با \(140 \text{ mi}\) (مایل) بوده است. در مسیر فلین فلان، شرایط آب و هوایی عالی بود. با این حال در مسیر بازگشت، آب و هوای بد منجر شد که میانگین سرعت برنده \(6 \text{ mph}\) (مایل بر ساعت) کاهش یابد. مجموع زمان این سفر \(8\frac{1}{2} \text{ h}\) بود. میانگین سرعت تیم سگ های برنده در مسیر فلین فلان چقدر بوده است؟

پاسخ

از فرمول مسافت، \(\text{distance} = \text{rate} \times \text{time}\)، یا فرمول زمان، \(\text{time} = \frac{\text{distance}}{\text{rate}}\)، استفاده کنید.


اجازه دهید \(x\) نشان دهندۀ میانگین سرعت در مسیر شهر پاس به شهر فلین فلان، در واحد مایل بر ساعت باشد. آن گاه داده ها و روابط موجود در جدول زیر را خواهیم داشت:



$$
\frac{70}{x} + \frac{70}{x-6} = \frac{17}{2}\\
2(x)(x-6) \biggl( \frac{70}{x} + \frac{70}{x-6} \biggr) = 2(x)(x-6) \biggl( \frac{17}{2} \biggr)\\
2(x-6)(70) + 2(x)(70) = (x)(x-6)(17)\\
140x - 80 + 140x = 17x^2 - 102x\\
0 = 17x^2 - 382x + 840
$$
از فرمول معادلۀ درجه دوم (quadratic formula) برای حل کردن این معادله استفاده می کنیم.
$$
x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
x = \frac{-(-382) \pm \sqrt{(-382)^2 - 4(17)(840)}}{2(17)}\\
x = \frac{382 \pm \sqrt{88804}}{34}\\
x = \frac{382 \pm 298}{34}\\
x = 20 \text{ or } x = \frac{42}{17}
$$
درست آزمایی: با جایگذاری \(x=20\) و \(x=\frac{42}{17}\) در معادلۀ اصلی، پاسخ های بدست آمده را درست آزمایی کنید.
درست آزماییِ \(x=20\):
سمت چپ:
$$
\frac{70}{x} + \frac{70}{x-6}\\
= \frac{70}{\color{red}{20}} + \frac{70}{\color{red}{20}-6}\\
= \frac{7}{2} + \frac{70}{14}\\
= 3.5 + 5\\
= 8.5
$$
سمت راست:
$$
\frac{17}{2} = 8.5
$$
پاسخ \(x=20\) صحیح می باشد.

درست آزماییِ \(x=\frac{42}{17}\):
سمت چپ:
$$
\frac{70}{x} + \frac{70}{x-6}\\
= \frac{70}{\color{red}{\frac{42}{17}}} + \frac{70}{\color{red}{\frac{42}{17}}-6}\\
= \frac{70}{\frac{42}{17}} + \frac{70}{\frac{42}{17} - \frac{102}{17}}\\
= \frac{70}{\frac{42}{17}} - \frac{70}{\frac{60}{17}} \\
= 70 (\frac{17}{42}) - 70 (\frac{17}{60})\\
= \frac{170}{6} - \frac{119}{6}\\
= 8.5
$$
سمت راست:
$$
\frac{17}{2} = 8.5
$$
پاسخ \(x= \frac{42}{17}\) صحیح می باشد.

با وجود اینکه هر دو پاسخ بدست آمده برای معادله صحیح می باشند و هر دو مجازند، پاسخ \(\frac{42}{17}\) برای این مسأله نامناسب است، زیرا اگر این سرعت را به میزان \(6 \text{ mph}\) (مایل بر ساعت) کاهش دهیم، آن گاه سرعت مقداری منفی خواهد داشت که منطقی نیست. بنابراین تنها پاسخ قابل قبول برای این مسأله \( \text{ mph}\) می باشد.

میانگین سرعت تیم برنده در مسیر فلین فلان، برابر با \(20 \text{ mph}\) بوده است.

حالا نوبت شماست

قطاری دارای مسیر برنامه ریزی شدۀ \(160 \text{ km}\) بین دو شهر در ایالت ساسکاچوان (Saskatchewan) می باشد. اگر میانگین سرعت این قطار \(16 \frac{\text{km}}{\text{h}}\) کاهش یابد، این مسیر \(\frac{1}{2} \text{ h}\) بیشتر طول می کشد. میانگین سرعت این قطار چقدر است؟