تمرین 12: توابع معکوس، استفادۀ کاربردی

بیشترین مدت زمانی، در واحد دقیقه، که طول می کشد تا یک غواص به سمت سطح آب بالا بیاید، $t$، بدون توقف به منظور کنترل کاهش ناگهانی فشار آب، با تابع $t=\frac{525}{d-10}$ مشخص می شود، در این تابع $d$ عمقی از آب که غواص در آن قرار دارد، در واحد متر، است.

به کمک فناوری ترسیم نمودار، نمودار این تابع را ترسیم کنید.
یک دامنۀ مناسب که این کاربرد را نشان می دهد، تعیین کنید.
ماکزیمم زمانی که طول می کشد تا یک غواص، بدون توقف، از عمق $40$ متری به سطح آب بیاید، را تعیین کنید.
نمودار تابع دومی با $t=40$ را ترسیم کنید. نقطۀ تقاطع این دو نمودار را بیابید. این نقطۀ تقاطع را به لحاظ بالا آمدن غواص به سطح آب تفسیر کنید. این نتیجه را به صورت جبری با تابع اصلی درست آزمایی کنید.
آیا این نمودار یک خط مجانب افقی دارد؟ با در نظر گرفتن غواص، این به چه معناست؟

آیا می دانستید؟
اگر غواص ها خیلی سریع به سطح آب برگردند، دچار عارضۀ ناشی از کاهش ناگهانی فشار (the bends) می شوند، دلیل این عارضه تنفس نیتروژن یا سایر گازهای تحت فشار است. حباب های نیتروژن در جریان خون آزاد می شوند و جریان خون را مسدود می کنند، و منجر به درد مفاصل می شوند.

پاسخ

از آنجا که خط مجانب عمودی برابر با $d=10$ می باشد و $d$ باید مقداری مثبت باشد، دامنۀ این تابع اینگونه است: $\{d| d \ge 10, d \in R \}$
$d=40$ را در $t=\frac{525}{d-10}$ جایگذاری کنید:
$$
t=\frac{525}{40-10}\\
t = 17.5
$$
ماکزیمم زمان $17.5$ دقیقه است.
نقطۀ تقاطع $(23.125, 40)$ است. این بدین معناست که این غواص در عمق $23.125$ متری، ماکزیمم زمان $40$ دقیقه را دارد.
درست آزمایی:
$$
40=\frac{525}{d-10}\\
40=\frac{525}{23.125-10}\\
40=40 \text{ ✔️}
$$
بله. خط مجانب افقی $t=0$ است. در عمق های خیلی زیاد اینکه برای کاهش فشار آب توقف نکنیم غیر ممکن است.