تمرین 4، کوچکترین مضرب مشترک، فصل 5، ریاضی هفتم

دلیل درستی جملات زیر را بیان کنید.

اگر عددی بر عدد دیگر بخش پذیر باشد، عدد بزرگ تر ک.م.م دو عدد است.
اگر ب.م.م دو عدد یک باشد، ک.م.م دو عدد برابر حاصل ضرب دو عدد است.
ک.م.م دو عدد اول برابر حاصل ضرب آنهاست.

پاسخ

اگر عددی بر عدد دیگر بخش پذیر باشد، عدد بزرگ تر ک.م.م دو عدد است.
درستی این مسئله را می توانیم با مثالی نشان دهیم. دو عدد $10$ و $5$ را در نظر می گیرم و ک.م.م آن ها را بدست می آوریم. البته شما خودتان می توانید با مثال های دیگری هم این موضوع را بیازمایید.
$$
10 = 2 \times 5\\
5 = 5\\
[10,5] = 2 \times 5 = 10
$$
اگر ب.م.م دو عدد یک باشد، ک.م.م دو عدد برابر حاصل ضرب دو عدد است.
مثال زیر درستی این مسئله را نشان می دهد.
$$
4 = 2 \times 2\\
9 = 3 \times 3\\
(4,9) = 1\\
[4,9] = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 36
$$
ک.م.م دو عدد اول برابر حاصل ضرب آنهاست.
مثال زیر درستی این مسئله را نشان می دهد.
$$
7 = 1 \times 7\\
13 = 1 \times 13\\
(7,13) = 1\\
[7,13] = 1 \times 7 \times 13 = 91
$$

فرمول محاسبۀ ک.م.م از روی ب.م.م: در حالت کلی، هر گاه ب.م.م دو عدد را داشته باشید، می توانید با فرمول زیر به سادگی، ک.م.م آن دو عدد را نیز بدست آورید:
$$
\text{ک.م.م} = \frac{\text{ضرب دو عدد}}{\text{ب.م.م}}
$$
برای درک این فرمول به مثال های زیر توجه کنید:
$$
(36,45) = 9\\
[36,45] = \frac{36 \times 45}{9} = 180\\[2ex]
(33,66)=33\\
[33,66] = \frac{33 \times 66}{33} = 66
$$

اطلاعات بیشتر: در این مسئله و مسئله های دیگری از کتاب هفتم، ما برای نشان دادن درستی یا نادرستی چیزی از مثال استفاده کرده ایم. هر چند استفاده از مثال روش خوبی است، اما طبیعی است که نمی توانیم این مثال ها را تعمیم دهیم و تمامی اعداد را با آن ها بیازماییم، چرا که اعداد تا بی نهایت ادامه می یابند. اما در سطح کلاس هفتم و حتی تا کلاس های نهم و دهم، استفاده از مثال اشکالی ندارد و پذیرفته است. در سطوح بالاتر از اثبات های ریاضی که معمولاً عملیات های جبری هستند، استفاده می شود.

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی