هر یک از طرح های زیر با استفاده از سه نوع کاشی منتظم طراحی شده است. با محاسبۀ زاویه های داخلی هر کاشی منتظم، نشان دهید زاویۀ مشخص شده در هر شکل \(360\) درجه است.

پاسخ

در طرح بالا، در محل مشخص شده با دایرۀ قرمز رنگ، سه شکل مختلف شامل یک مربع، یک شش ضلعی منتظم و یک دوازده ضلعی منتظم با یکدیگر تقاطع دارند. شکل زیر اندازۀ زوایا در محل تقاطع را نشان می دهد. همانطور که می بینید مجموع این زوایا برابر با \(90^{\circ} + 120^{\circ}+ 150^{\circ}= 360^{\circ}\) می باشد. با توجه به منتظم بودن اشکال، اندازۀ هر کدام از زوایای داخلی آنها را با فرمول زیر می توانیم بدست آوریم:
$$
\frac{(n-2)(180^{\circ})}{n}\\[2ex]
\frac{(4-2)(180^{\circ})}{4} = 90^{\circ}\\[2ex]
\frac{(6-2)(180^{\circ})}{6}= 120^{\circ}\\[2ex]
\frac{(12-2)(180^{\circ})}{12} = 150^{\circ}\\[2ex]
90^{\circ} + 120^{\circ} + 150^{\circ} = 360^{\circ}
$$

این طرح هم، همانند طرح قبلی از تعدادی چندضلعی منتظم تشکیل شده است. این چندضلعی های منتظم عبارت از \(2\) مربع، \(1\) مثلث متساوی الاضلاع و یک شش ضلعی منتظم می باشند. ابتدا اندازۀ یکی از زوایای داخلی هر کدام از این اشکال را به دست می آوریم و سپس مجموع آنها را با یکدیگر جمع می زنیم:
$$
\frac{(n-2)(180^{\circ})}{n}\\[2ex]
\frac{(3-2)(180^{\circ})}{3} = 60^{\circ}\\[2ex]
\frac{(4-2)(180^{\circ})}{4} = 90^{\circ}\\[2ex]
\frac{(4-2)(180^{\circ})}{4} = 90^{\circ}\\[2ex]
\frac{(6-2)(180^{\circ})}{6}= 120^{\circ}\\[2ex]
60^{\circ} +90^{\circ} +90^{\circ} + 120^{\circ} = 360^{\circ}
$$