نویسنده : امیر انصاری

• مرحلۀ 1 دستگاه معادلات خطی-درجه دوم \(y=x^2\) و \(y=x+b\) را در نظر بگیرید. در این دستگاه \(b \in R\) می باشد. نمودار این دستگاه معادلات را برای مقادیر مختلف \(b\) ترسیم کنید. با تغییر دادن مقدار \(b\) شرایطی را تجربه کنید که در آن این سهمی و خط یکدیگر را در دو نقطه قطع کنند. برای چه مقادیری از \(b\) این سهمی و خط فقط یک تقاطع خواهند داشت؟ بر اساس نتایجی که بدست آورده اید، مقادیری از \(b\) را پیش بینی کنید که در آنها این دستگاه دارای دو پاسخ حقیقی، یک پاسخ حقیقی، و بدون پاسخ حقیقی باشند.
  
• مرحلۀ 2 به صورت جبری مقادیری از \(b\) را تعیین کنید که در آن ها این دستگاه دارای دو پاسخ حقیقی، یک پاسخ حقیقی، و بدون پاسخ حقیقی باشد.
  
• مرحلۀ 3 دستگاه معادلات خطی-درجه دوم \(y=x^2\) و \(y=mx-1\) با شرط \(m \in R\) را در نظر بگیرید. نمودار این دستگاه را برای مقادیر مختلف \(m\) ترسیم کنید. تغییر دادن مقدار \(m\) را آزمایش کنید. برای چه مقادیری از \(m\) این سهمی و خط فقط در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند؟ بر اساس نتایجی که بدست آورده اید، مقادیری از \(m\) را پیش بینی کنید که در آنها این دستگاه دارای دو پاسخ حقیقی، یک پاسخ حقیقی، و بدون پاسخ حقیقی باشند.
  
• مرحلۀ 4 به صورت جبری مقادیری از \(m\) را تعیین کنید که در آن ها این دستگاه دارای دو پاسخ حقیقی، یک پاسخ حقیقی، و بدون پاسخ حقیقی باشد.
  
• مرحلۀ 5 دستگاه معادلات خطی-درجه دوم \(y=x^2\) و \(y=mx+b\) با شرط \(m,b \in R\) را در نظر بگیرید. شرایطی را بر روی \(m\) و \(b\) در نظر بگیرید که تحت آن شرایط این دستگاه دارای دو پاسخ حقیقی، یک پاسخ حقیقی، و بدون پاسخ حقیقی باشد.
  

پاسخ

1. اگر مقادیر مختلف را برای \(b\) تجربه کنید و مقداری روی آن وقت صرف کنید، متوجه خواهید شد که در مقدار \(b=-0.25\) این دستگاه یک پاسخ خواهد داشت.
   $$
   y=x^2\\
   y=x-0.25
   $$
   
   برای مقادیر \(b \lt -0.25\) این دستگاه پاسخی نخواهد داشت.
   $$
   y=x^2\\
   y=x-0.3
   $$
   
   برای مقادیر \(b \gt -0.25\) این دستگاه دو پاسخ خواهد داشت.
   $$
   y=x^2\\
   y=x-0.21
   $$
   
   
2. دستگاه معادلات \(y=x^2\) و \(y=x+b\) را به صورت جبری حل می کنیم.
   $$
   y=x^2\\
   y=x+b\\[2ex]
   x^2 = x+b\\
   x^2 -x -b = 0\\
   a=1,b=-1,c=-b\\
   x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\
   x=\frac{-(\color{red}{-1}) \pm \sqrt{(\color{red}{-1})^2 - 4(\color{red}{1})(\color{red}{-b})}}{2(\color{red}{1})}\\
   x=\frac{1 \pm \sqrt{1 + 4b}}{2}
   $$
   در این پاسخ، عبارت زیر رادیکال تعداد پاسخ ها را مشخص می سازد. اگر عبارت زیر رادیکال صفر باشد، این دستگاه یک پاسخ خواهد داشت.
   $$
   x=\frac{1 \pm \sqrt{\color{red}{0}}}{2}\\
   x=\frac{1}{2}\\
   y = x^2\\
   y = (\color{red}{\frac{1}{2}})^2\\
   y = \frac{1}{4}\\
   \to (\frac{1}{2},\frac{1}{4}) = (0.5,0.25)
   $$
   حالا بیایید ببینیم در این حالت که مقدار زیر رادیکال برابر با صفر است، مقدار \(b\) چیست.
   $$
   1+4b = 0\\
   4b = -1\\
   b = -\frac{1}{4} \\
   b=- 0.25
   $$
   هنگامی که عبارت زیر رادیکال بزرگتر از صفر باشد، این دستگاه دو پاسخ خواهد داشت.
   $$
   1+4b \gt 0\\
   4b \gt -1\\
   b \gt -\frac{1}{4}\\
   b \gt -0.25
   $$
   هنگامی که عبارت زیر رادیکال کوچکتر از صفر باشد، این دستگاه پاسخی نخواهد داشت.
   $$
   1+4b \lt 0 \\
   4b \lt -1\\
   b \lt -\frac{1}{4}\\
   b \lt -0.25
   $$
   نتایج بدست آمده در این مرحله با نتایج بدست آمده در مرحلۀ یک یکسان می باشد. البته این را هم در نظر داشته باشید که اگر در مرحلۀ یک با دقت و حوصله عمل نکرده باشید ممکن است نتایج تان متفاوت باشد.
   
   
3. با بررسی نمودار این دستگاه متوجه می شویم که هنگامی که \(m=2\) یا \(m=-2\) باشد، در هر دوی این حالت ها این دستگاه یک پاسخ حقیقی خواهد داشت. نمودارهای زیر هر دو حالت را به شما نشان می دهد.
   $$
   y=x^2\\
   y=2x-1
   $$
   $$
   y=x^2\\
   y=-2x-1
   $$
   
   
4. دستگاه زیر را به روش جبری حل می کنیم.
   $$
   y=x^2\\
   y = mx-1\\[2ex]
   x^2 = mx -1\\
   x^2 - mx + 1 = 0\\
   a=1, b = -m, c = 1\\
   x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\
   x=\frac{-(\color{red}{-m}) \pm \sqrt{(\color{red}{-m})^2 - 4(\color{red}{1})(\color{red}{1})}}{2(\color{red}{1})}\\
   x=\frac{m \pm \sqrt{m^2 - 4}}{2}
   $$
   هم اکنون از روی مقدار زیر رادیکال، یعنی \(m^2 - 4\)، می توانیم تعداد پاسخ های حقیقی این دستگاه را تعیین کنیم.
   اگر مقدار زیر رادیکال برابر با صفر باشد، این دستگاه یک پاسخ حقیقی خواهد داشت.
   $$
   m^2 - 4 =0\\
   m^2 = 4\\
   m = \pm 2
   $$
   اگر مقدار زیر رادیکال برابر بزرگ تر از صفر باشد، این دستگاه دو پاسخ حقیقی خواهد داشت.
   $$
   m^2 - 4 \gt 0\\
   m \lt -2 \text{ or } m \gt 2
   $$
   اگر مقدار زیر رادیکال برابر کوچک تر از صفر باشد، این دستگاه پاسخ حقیقی نخواهد داشت.
   $$
   m^2 - 4 \lt 0\\
   -2 \lt m \lt 2
   $$
   
   یادداشت مترجم: در این قسمت از مسئله تعمداً به جزئیات مربوط به چگونگی حل نامعادلات درجه دوم نپرداخته ایم، در فصل بعدی این کتاب در این ارتباط در جریان قرار خواهید گرفت.
   
5. $$
   y=x^2\\
   y=mx+b\\[2ex]
   x^2 = mx +b\\
   x^2 - mx - b = 0\\
   a = 1, b = -m, c= -b\\
   x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\
   x=\frac{-(\color{red}{-m}) \pm \sqrt{(\color{red}{-m})^2 - 4(\color{red}{1})(\color{red}{-b})}}{2(\color{red}{1})}\\
   x = \frac{m \pm \sqrt{m^2 +4b}}{2}
   $$
   اگر عبارت زیر رادیکال برابر با صفر باشد، این دستگاه تنها یک پاسخ حقیقی خواهد داشت.
   $$
   m^2 + 4b = 0\\
   m^2 = -4b
   $$
   اگر عبارت زیر رادیکال بزرگ تر از صفر باشد، این دستگاه دو پاسخ حقیقی خواهد داشت.
   $$
   m^2 + 4b > 0\\
   m^2 \gt -4b
   $$
   اگر عبارت زیر رادیکال کوچک تر از صفر باشد، این دستگاه هیچ پاسخ حقیقی نخواهد داشت.
   $$
   m^2 + 4b \lt 0\\
   m^2 \lt -4b
   $$