رأس یک سهمی در \((-3,-1)\) قرار دارد و از نقطۀ \((-2,1)\) می گذرد. رأس سهمی دیگری در \((-1,5)\) قرار دارد و عرض از مبدأ آن \(4\) می باشد. مختصات تقریبی نقاط تقاطع این دو سهمی چه می باشند؟

پاسخ

در این جا دو سهمی داریم که در هر کدام از آنها مختصات رأس (vertex) و مختصات یک نقطۀ دیگر معلوم است. همین اطلاعات برای بدست آوردن معادلۀ آن ها کفایت می کند.
بدست آوردن معادلۀ سهمی اول:
$$
\text{vertex: } (-3,-1)\\
y=a(x-p)^2 + q\\
y=a(x-(\color{red}{-3}))^2 +(\color{red}{-1})\\
y=a(x+3)^2 -1\\
\text{(x,y): } (-2,1)\\
\color{red}{1}=a(\color{red}{-2}+3)^2 -1\\
1=a -1\\
2=a\\
\to y= 2(x+3)^2 -1
$$
بدست آوردن معادلۀ سهمی دوم:
$$
\text{vertex: } (-1,5)\\
y=a(x-p)^2+q\\
y=a(x-(\color{red}{-1}))^2 +\color{red}{5}\\
y=a(x+1)^2 +5\\
\text{(x,y): } (0,4)\\
\color{red}{4}=a(\color{red}{0}+1)^2 +5\\
4=a +5\\
4-5=a\\
-1=a\\
\to y=-(x+1)^2 +5
$$
هم اکنون دو معادله درجه دوم داریم. با آن ها یک دستگاه معادلات تشکیل می دهیم و دستگاه را حل می کنیم.
$$
y=2(x+3)^2-1\\
y=-(x+1)^2+5\\[2ex]
2(x+3)^2-1 = -(x+1)^2+5\\
2(x^2+6x+9)-1 = -(x^2+2x+1)+5\\
2x^2 +12x +18 -1 = -x^2 -2x -1 +5\\
2x^2 + 12x +17 = -x^2 -2x +4\\
2x^2 + 12x +17 +x^2 +2x -4 = 0\\
3x^2 +14x +13 = 0\\
x \approx -1.28 \text{ or } x \approx -3.39\\[2ex]
y=2(x+3)^2 -1\\
y=2(\color{red}{-1.28}+3)^2 -1\\
y=2(-1.28+3)^2 -1\\
y = 2(1.72)^2 - 1\\
y = 2(2.96) - 1\\
y = 4.92\\
\to (-1.28,4.92)\\[2ex]
y=2(x+3)^2 -1\\
y=2(\color{red}{-3.39}+3)^2 -1\\
y = -0.70\\
\to (-3.39,-0.70)
$$
پاسخ های این دستگاه \((-1.28,4.92)\) و \((-3.39,-0.70)\) می باشند.