معادله های دستگاه معادلات خطی-درجه دومی را که دارای مشخصات زیر می باشند، تعیین کنید. رأس سهمی در \((-1,-4.5)\) می باشد. این خط سهمی را در دو نقطه قطع می کند. یکی از این تقاطع ها بر روی محور \(x\) و در مختصات \((0,-4)\) قرار دارد و نقطۀ دیگر بر روی محور \(x\) قرار دارد.

پاسخ

ابتدا سعی می کنیم از روی داده های معلوم در مسئله معادلۀ تابع درجه دوم را بیابیم. چرا که داشتن رأس و مختصات یک نقطه بر روی تابع برای این منظور کفایت می کند. با جایگذاری مختصات رأس در شکل رأس از تابع درجه دوم، \(y=a(x-p)^2 +q\)، معادلۀ تابع را بدست می آوریم.
$$
y=a(x-p)^2 + q\\
(p,q) \to (-1,-4.5)\\
y=a(x-(\color{red}{-1}))^2 + (\color{red}{-4.5})\\
y = a(x+1)^2 - 4.5
$$
هم اکنون \(a\) در معادلۀ ما مجهول است، با جایگذاری مختصات نقطۀ \((0,-4)\) که می دانیم بر روی این تابع قرار دارد، و سپس حل کردن معادله برای بدست آوردن \(a\)، مقدار مجهول را تعیین می کنیم.
$$
y=a(x+1)^2 -4.5\\
\color{red}{-4}=a(\color{red}{0}+1)^2 -4.5\\
-4 = a-4.5\\
-4+4.5=a\\
0.5 = a
$$
هم اکنون معادلۀ تابع درجه دوم ما مشخص شد.
$$
y=0.5(x+1)^2-4.5
$$
حالا به سراغ معادلۀ تابع خطی می رویم. اطلاعات ما برای یافتن این معادله مختصات یک نقطه، \((0,-4)\)، می باشد. مختصات این نقطه در واقع عرض از مبدأ خط ما نیز می باشد. برای یافتن معادلۀ یک خط دست کم به مختصات دو نقطه از آن احتیاج داریم. یا اینکه نیاز به دانستن عرض از مبدأ و شیب خط داریم. در این مسئله مختصات نقطه دوم هم به نوعی به ما ارائه شده است. آن قسمت از مسئله که می گوید تقاطع دوم بر روی محور \(x\) قرار دارد، کلید حل معماست. معادلۀ تابع درجه دوم را برای \(y=0\) حل می کنیم تا طول از مبدأهای آن، در واقع مختصات نقاط بر روی محور \(x\)، را تعیین کنیم.
$$
0.5(x+1)^2 - 4.5= 0\\
0.5(x^2 + 2x + 1) - 4.5 = 0\\
0.5x^2 +x + 0.5 = 0\\
x = 2 \text{ or } x = -4\\
\to (2,0) \text{ or } (-4,0)
$$
در اینجا به دو تقاطع احتمالی بر روی محور \(x\) رسیدیم که در هر دو حالت معادلۀ خط صحیحی مطابق با شرایط مسئله بدست خواهیم آورد.
معادلۀ خطی که از نقاط \((0,-4)\) و \((2,0)\) می گذرد.
$$
y=mx+b\\
b=-4\\
y=mx+(-4)\\
y=mx-4\\
\color{red}{0} = m(\color{red}{2}) -4\\
4=2m\\
2=m\\
\to y=2x-4
$$
معادلۀ خطی که از نقاط \((0,-4)\) و \((-4,0)\) می گذرد.
$$
y=mx-4\\
\color{red}{0} = m(\color{red}{-4})-4\\
0 = -4m -4\\
4 = -4m\\
-1 = m\\
\to y = -x -4
$$
این دستگاه معادلات شامل دو معادلۀ زیر،
$$
y=0.5(x+1)^2 - 4.5\\
y=2x-4
$$
یا دو معادلۀ زیر می باشد.
$$
y=0.5(x+1)^2 - 4.5\\
y=-x-4
$$
تصویر زیر پاسخ ها را نشان می دهد.