از استدلال جبری (algebraic reasoning) برای نشان دادن این که نمودار \(y=-\frac{1}{2}x - 2 \) و \(y=x^2 - 4x + 2\) یکدیگر را قطع نمی کنند، استفاده کنید.

پاسخ

ابتدا معادلۀ درجه دوم را در که در حال حاضر در شکل استاندارد می باشد در شکل رأس، \(y=a(x-p)^2 +q\)، بازنویسی می کنیم. برای این منظور از روش کامل کردن مربع استفاده می کنیم.
$$
y=x^2 -4x +2\\
y=(x^2 -4x +4 -4) +2\\
y=(x^2 -4x +4) -4 +2\\
y=(x-2)^2 -2
$$
از روی شکل رأس می توانیم مختصات رأس (vertex) این سهمی را بیابیم.
$$
y=(x-2)^2 -2\\
\text{vertex: } (p,q) \text{ : } (2,-2)
$$
با جایگذاری \(0\) در معادلۀ این تابع درجه دوم می توانیم مختصات عرض از مبدأ آن را نیز بدست آوریم.
$$
y = (x-2)^2 -2\\
y = (\color{red}{0}-2)^2 -2\\
y = 4-2\\
y=2\\
\to (0,2)
$$
از روی مثبت بودن ضریب \(a\)، در اینجا \(1\)، می توانیم متوجه شویم که این سهمی رو به بالا باز می شود.

حالا به سراغ معادلۀ خطی \(y=-\frac{1}{2}x -2\) می رویم. این معادله در شکل شیب-تقاطع، \(y=mx+b\)، می باشد. در این شکل \(b\) عرض از مبدأ و \(m\) شیب خط می باشد. با توجه به مختصات عرض از مبدأ، \((0,-2)\)، و به کمک شیب، \(-\frac{1}{2}\)، می توانیم مختصات نقطه دیگری، \((2,-3)\) را بر روی این خط بدست آوریم. با ترسیم تقریبی نمودار این دو معادله متوجه می شویم که هیچ تقاطعی با هم نخواهند داشت. تصویر زیر می تواند دید بهتری نسبت به این مسئله به شما بدهد.