دامنۀ تابع زیر را بیابید.





$$
y = \frac{x+3}{4 - \sqrt{x^2 - 9}}
$$

پاسخ

دامنۀ طبیعی این تابع دو محدودیت دارد. محدودیت اول اینکه عبارت زیر رادیکال باید مقداری غیرمنفی باشد. و محدودیت دوم اینکه عبارت مخرج کسر نمی تواند صفر باشد. در نتیجه خواهیم داشت:
محدودیت عبارت زیر رادیکال:
$$
x^2 - 9 \ge 0\\
x^2 \ge 9\\
x \ge 3 \text{ or } x \le -3
$$
محدودیت مخرج کسر:
$$
4 - \sqrt{x^2 - 9} \ne 0
$$
$$
4 - \sqrt{x^2 - 9} \gt 0\\
- \sqrt{x^2 - 9} \gt -4\\
\sqrt{x^2 - 9} \lt 4\\
x^2 - 9 \lt 16\\
x^2 \lt 16 + 9\\
x^2 \lt 25\\
x \lt 5 \text{ or } x \gt -5
$$
$$
4 - \sqrt{x^2 - 9} \lt 0\\
- \sqrt{x^2 - 9} \lt -4\\
\sqrt{x^2 - 9} \gt 4\\
x^2 - 9 \gt 16\\
x^2 \gt 16 + 9\\
x^2 \gt 25\\
x \gt 5 \text{ or } x \lt -5
$$
اگر تمامی این محدودیت ها را بر روی خط اعداد ترسیم کنیم، از ترکیب آنها به دامنۀ طبیعی این تابع می رسیم:
$$
(-\infty,-5) \cup (-5,-3] \cup [3,5) \cup (5,\infty)
$$