حل کردن معادلات مثلثاتی نیاز به آماده سازی مناسب و مقداری مهارت دارد. معادلات مثلثاتی با اتحادها یکسان نیستند. یک اتحاد برای هر زاویه ای که در دامنۀ تابع مربوطه باشد، برقرار است. یک معادلۀ مثلثاتی (trig equation) به ازاء برخی مقادیر ورودی یا برخی زوایای خاص برقرار می باشد ـــ البته اگر آن معادله دارای پاسخی باشد.





برخی از معادلات مثلثاتی نیازمند مهارتهای فاکتورگیری از جبر یا حتی فرمول معادلۀ درجه دوم، می باشند. برای اینکه بیشتر معادلات مثلثاتی را با موفقیت حل کنید، باید اتحادهای مثلثاتی را در زمان مناسب درگیر کنید. تمامی این معادلات نیازمند دانش مقادیر توابع و اینکه چگونه توابع معکوس مثلثاتی کار می کنند، می باشد (بنابراین اگر نیاز به یادآوری در این زمینه ها دارید، به فصل های 9، 15، و 16 مراجعه کنید). برای مشتاقان حل معادلات، این فصل جایی است که تمامی مفاهیم برای به حداکثر رساندن سرگرمی و چالش، یکجا جمع شده اند.

روش ها و تکنیک هایی که در این فصل خواهید دید آنهایی هستند که افراد غالباً برای حل کردن معادلات مثلثاتی مورد استفاده قرار می دهند. روش های دیگری هم موجود هستند، اما غالباً از آنها استفاده نمی شود. همچنین، شما معمولاً بیش از یک روش برای حل کردن یک معادلۀ مثلثاتی خاص در اختیار دارید. هدف شما همواره باید این باشد که تا حد امکان آن را سریعتر و کارآمدتر حل کنید، اما اگر به نظر می رسد که راه طولانی تر و غیر سرراست تر را انتخاب کرده اید، نگران نباشید. گاهی اوقات غیرمستقیم ترین مسیر، معنادارتر به نظر می رسد. اگر یک روش خاص برای شما جواب می دهد ـــ به عبارت دیگر، شما را به پاسخ صحیح می رساند ـــ انجامش دهید!

ایجاد راه حل های ساده

ساده ترین نوع معادلۀ مثلثاتی نوعی است که شما می توانید برای تعیین پاسخهایش، آن را فوراً به شکل یک معکوس بازنویسی کنید. به عنوان مثالهایی از این نوع از معادلات می توان به موارد \(\cos x=1\)، \(2 \sin x+1 = 0\) ، و \(\cot x-\sqrt{3}=0\) اشاره کرد. در ادامه چگونگ حل کردن آنها را می بینید:

برای حل کردن \(\cos x=1\) :

1. این معادله را به شکل یک معادلۀ تابع معکوس بازنویسی کنید. $$x=\cos^{-1} (1)$$
   
2. پاسخهایی را برای مقدار \(x\) زمانیکه \(0 \le x \le 360^{\circ}\) باشد، لیست کنید. $$x=0^{\circ}$$
   تنها زمانیکه کسینوس برابر با \(1\) می شود، هنگامی است که آن زاویه، یا ورودی، برابر با \(0\) درجه باشد.
   
   
3. تمامی پاسخها را به صورت کلی لیست کنید. $$x=0^{\circ}+360^{\circ} n$$
   

مراحل 2 و 3 روش های متفاوتی که می توانید این پاسخها را بنویسید به شما نشان می دهند: یا به شکل تعداد محدودی پاسخ در یک بازۀ خاص، یا به شکل تمامی پاسخهای ممکن، همراه با قانونی که آن را توصیف می کند.

اکنون \(2 \sin x +1 =0\) را تنها برای مقادیری از \(x\) به نحویکه \(0 \le x \le 2\pi\) حل کنید:

1. این معادله را به شکل یک معادلۀ تابع معکوس بازنویسی کنید.
   ابتدا \(1\) را از هر دو سمت تفریق کنید؛ سپس هر دو سمت را بر \(2\) تقسیم کنید.
   $$
   2 \sin x = -1 \\
   \sin x = -\frac{1}{2} \\
   x= \sin^{-1} \biggl(-\frac{1}{2}\biggr)
   $$
   
2. پاسخها را لیست کنید. از جدول موجود در ضمیمۀ کتاب برای یافتن زوایایی که درست کار می کنند، استفاده کنید. $$x=\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}$$
   

مثال بعدی شامل یک تابع معکوس می باشد. بهترین شانس موفقیت شما اینست که کار را با استفاده از یک اتحاد معکوس آغاز کنید و مسأله را به آن تبدیل کنید.

معادلۀ \(\cot x - \sqrt{3} = 0\) برای تمامی مقادیر \(x\)، در واحد رادیان، که آن را برآورده سازند، حل کنید:

1. با افزودن این رادیکال به هر سمت از معادله آن را برای بدست آوردن تابع مثلثاتی حل کنید. $$\cot x = \sqrt{3}$$
   
2. از اتحاد معکوس و کسرمتقابل این عدد برای تغییر دادن به تابع تانژانت استفاده کنید، و سپس هر دو سمت این کسر را در مخرج ضرب کنید تا از رادیکال در مخرج رهایی یابید. $$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
   
3. این معادله را به شکل یک معادلۀ تابع معکوس بازنویسی کنید. $$x=\tan^{-1}\biggl(\frac{\sqrt{3}}{3}\biggr)$$
   
4. گزاره ای عمومی بنویسید که تمامی پاسخها را بدهد. $$
   x=\frac{\pi}{6} + \pi n \\
   x = \frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{13\pi}{6},\frac{19\pi}{6},...
   $$
   این گزاره بدین معناست که تمامی زوایایی که با جمع کردن یا تفریق کردن مضربهایی از \(\pi\) می یابید، پاسخهایی را برای این معادله فراهم می آورند.