خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
ساده کردن عبارات جبری
همینطور که عبارات جبری پیچیده تر می شوند، ساده کردن آنها می تواند کار کردن با آنها را آسان تر کند. ساده کردن (Simplifying) یک عبارت یعنی آن عبارت را کوچکتر کنیم تا مدیریت آن آسانتر شود. هنگامی که شروع به حل کردن معادلات جبری (algebraic equations) می کنید، درخواهید یافت که ساده کردن کردن عبارات چقدر حائز اهمیت است.
هنگامی که دو جمله جبری (algebraic terms) مشابه باشند (یعنی متغیرهایشان یکسان باشند)، شما می توانید آنها را جمع یا تفریق کنید. این ویژگی هنگامی که در تلاش برای ساده کردن یک عبارت هستید، سودمند می باشد. برای مثال، فرض کنید مشغول کار با عبارت زیر هستید:
این عبارت شش جمله دارد. سه تا از جمله ها متغیر x و سه جمله دیگر متغیر y دارند. کار را با چینش مجدد جملات عبارت آغاز کنید، به نحوی که در چینش جدید تمامی جملات مشابه با یکدیگر هم گروه گردند:
حالا می توانید جملات مشابه را جمع و تفریق کنید. من این کار را در دو مرحله انجام داده ام، ابتدا برای جملات x و سپس برای جملات y.
توجه داشته باشید که جملات x به 5x ساده می شوند و جملات y به 0y ساده می گردند، 0y در واقع برابر با 0 می باشد، بنابراین جملات y که در نهایت برابر با 0 شده اند از عبارت خط می خورند!
در اینجا یک مثال قدری پیچیده تر داریم که متغیرهایی توان دار در آن وجود دارند:
این بار، شما چهار نوع جمله متفاوت دارید. در گام اول، شما می توانید این جملات را بازچینش کنید، تا جملات مشابه در کنار یکدیگر قرار بگیرند (من این چهار گروه را با زیرخط متمایز کرده ام تا به وضوح بتوانید آنها را ببینید):
حالا هر مجموعه از جملات مشابه را با یکدیگر ترکیب کنید:
این بار جملات x2 به 0 تبدیل شده اند، پس آنها را از عبارت خط می زنیم:
پرانتزها (Parentheses) بخشهایی از یک عبارت را به عنوان یک واحد منفرد در کنار یکدیگر نگه می دارند. در فصل 5، چگونگی مدیریت پرانتزها در یک عبارت حسابی (arithmetic expression) را به شما نشان دادم. آن مهارت در مورد عبارت های جبری (algebraic expressions) نیز سودمند می باشد. همانطور که در فصل 22 در هنگام حل کردن معادلات جبری خواهید دانست، خلاص شدن از شر پرانتزها معمولاً اولین قدم در حل کردن یک مسأله می باشد. در این بخش، چگونگی مدیریت آسان چهار عمل اصلی را به شما نشان می دهم.
هنگامی که در یک عبارت پرانتزهایی موجود باشد که دقیقاً بعد از یک علامت بعلاوه (+) قرار گرفته باشند، شما می توانید همانموقع پرانتزها را حذف کنید. در اینجا مثالی داریم:
حالا می توانید با ترکیب کردن جملات مشابه عبارت را ساده کنید:
هنگامی که اولین جمله در داخل پرانتز منفی باشد، در هنگام حذف پرانتزها، علامت منفی جایگزین علامت مثبت می شود. برای مثال:
این مثال را در نظر بگیرید:
یک علامت منها در ابتدای پرانتزها قرار دارد، بنابراین شما باید علامت هر دو جمله موجود در پرانتز را تغییر بدهید و سپس پرانتز را حذف کنید. توجه داشته باشید که عبارت 2xy در ظاهر هیچ علامتی ندارد، چون اولین جمله موجود در داخل پرانتز می باشد. این عبارت در واقع به شکل زیر می باشد:
شما می توانید چگونگی تغییر علامتها و حذف پرانتزها را در زیر ببینید:
در این مرحله می توانید جملات مشابه را با یکدیگر ترکیب کنید:
هنگامی که بین یک عدد و یک جفت پرانتز هیچ چیزی نباشد، به معنای ضرب می باشد. برای مثال:
این شیوه علامت گذاری در عبارتهای جبری رایج می باشد، تا جایی که جایگزین علامت ضرب (.) می شود:
در اینجا مثالی داریم:
در این مورد، عدد 2 را در هر کدام از سه جمله موجود در داخل پرانتز ضرب کنید:
در این لحظه، این عبارت از عبارت اصلی پیچیده تر به نظر می رسد، اما حالا می توانید با ضرب کردن از شر هر سه جفت پرانتز خلاص شوید:
ضرب کردن در هر جمله موجود در داخل پرانتزها به سادگی توزیع ضرب در عملیات جمع می باشد (multiplication over addition) - که به آن ویژگی توزیع (distributive property) نیز گفته می شود - و در فصل 4 در موردش بحث کردم.
به عنوان مثالی دیگر، فرض کنید عبارت زیر را در اختیار دارید:
با ضرب کردن 2x- در سه جمله موجود در داخل پرانتز کار را آغاز کنید:
عبارت از آنچیزی که با آن آغاز کردید، بدتر به نظر می رسد، اما می توانید با ضرب کردن از شر همه پرانتزها خلاص شوید:
حالا می توانید جملات مشابه را با یکدیگر ترکیب کنید. من این کار را در دو مرحله انجام می دهم، ابتدا عبارت را بازچینش می کنم و سپس آن را ترکیب می کنم:
گاهی اوقات، عبارتها دارای دو جفت پرانتز هستند که در کنار یکدیگر قرار گرفته اند و هیچ علامتی بین دو جفت پرانتز قرار ندارد. در این حالت، شما باید تک تک جملات موجود در اولین جفت پرانتز را در تک تک جملات موجود در دومین جفت پرانتز، ضرب کنید.
فرآیند FOIL به شکل زیر می باشد:
این چهار نتیجه بدست آمده را به یکدیگر اضافه کنید تا عبارت ساده شده را بدست آورید:
در این مورد، شما می توانید این عبارت را با ترکیب جملات 12x- و 6x- ساده تر نیز کنید:
توجه داشته باشید که طی این فرآیند، شما تمامی جملات موجود در یک جفت پرانتز را در تمامی جملات موجود در جفت پرانتز دیگر، ضرب می کنید. عملیات FOIL صرفاً به شما کمک می کند تا عملیات را به درستی پیگیری کنید و مطمئن شوید که همه ضرب ها به درستی انجام گردند.
ترکیب کردن جملات مشابه (Combining similar terms)
هنگامی که دو جمله جبری (algebraic terms) مشابه باشند (یعنی متغیرهایشان یکسان باشند)، شما می توانید آنها را جمع یا تفریق کنید. این ویژگی هنگامی که در تلاش برای ساده کردن یک عبارت هستید، سودمند می باشد. برای مثال، فرض کنید مشغول کار با عبارت زیر هستید:
این عبارت شش جمله دارد. سه تا از جمله ها متغیر x و سه جمله دیگر متغیر y دارند. کار را با چینش مجدد جملات عبارت آغاز کنید، به نحوی که در چینش جدید تمامی جملات مشابه با یکدیگر هم گروه گردند:
حالا می توانید جملات مشابه را جمع و تفریق کنید. من این کار را در دو مرحله انجام داده ام، ابتدا برای جملات x و سپس برای جملات y.
توجه داشته باشید که جملات x به 5x ساده می شوند و جملات y به 0y ساده می گردند، 0y در واقع برابر با 0 می باشد، بنابراین جملات y که در نهایت برابر با 0 شده اند از عبارت خط می خورند!
در اینجا یک مثال قدری پیچیده تر داریم که متغیرهایی توان دار در آن وجود دارند:
این بار، شما چهار نوع جمله متفاوت دارید. در گام اول، شما می توانید این جملات را بازچینش کنید، تا جملات مشابه در کنار یکدیگر قرار بگیرند (من این چهار گروه را با زیرخط متمایز کرده ام تا به وضوح بتوانید آنها را ببینید):
حالا هر مجموعه از جملات مشابه را با یکدیگر ترکیب کنید:
این بار جملات x2 به 0 تبدیل شده اند، پس آنها را از عبارت خط می زنیم:
حذف پرانتزها از یک عبارت جبری
پرانتزها (Parentheses) بخشهایی از یک عبارت را به عنوان یک واحد منفرد در کنار یکدیگر نگه می دارند. در فصل 5، چگونگی مدیریت پرانتزها در یک عبارت حسابی (arithmetic expression) را به شما نشان دادم. آن مهارت در مورد عبارت های جبری (algebraic expressions) نیز سودمند می باشد. همانطور که در فصل 22 در هنگام حل کردن معادلات جبری خواهید دانست، خلاص شدن از شر پرانتزها معمولاً اولین قدم در حل کردن یک مسأله می باشد. در این بخش، چگونگی مدیریت آسان چهار عمل اصلی را به شما نشان می دهم.
همه چیز را حذف کنید: پرانتزهایی با علامت بعلاوه
هنگامی که در یک عبارت پرانتزهایی موجود باشد که دقیقاً بعد از یک علامت بعلاوه (+) قرار گرفته باشند، شما می توانید همانموقع پرانتزها را حذف کنید. در اینجا مثالی داریم:
حالا می توانید با ترکیب کردن جملات مشابه عبارت را ساده کنید:
هنگامی که اولین جمله در داخل پرانتز منفی باشد، در هنگام حذف پرانتزها، علامت منفی جایگزین علامت مثبت می شود. برای مثال:
دگرگونی علامت ها: پرانتزهایی با یک علامت منها
یادتان باشد: گاهی اوقات، یک عبارت شامل پرانتزهایی می باشد که بلافاصله بعد از یک علامت منها (-) آمده اند. در این مورد، علامت هر جمله در داخل پرانتز را به علامت متضادش تغییر بدهید و سپس پرانتزها را حذف کنید.
این مثال را در نظر بگیرید:
یک علامت منها در ابتدای پرانتزها قرار دارد، بنابراین شما باید علامت هر دو جمله موجود در پرانتز را تغییر بدهید و سپس پرانتز را حذف کنید. توجه داشته باشید که عبارت 2xy در ظاهر هیچ علامتی ندارد، چون اولین جمله موجود در داخل پرانتز می باشد. این عبارت در واقع به شکل زیر می باشد:
شما می توانید چگونگی تغییر علامتها و حذف پرانتزها را در زیر ببینید:
در این مرحله می توانید جملات مشابه را با یکدیگر ترکیب کنید:
توزیع: پرانتزهایی بدون علامت
هنگامی که بین یک عدد و یک جفت پرانتز هیچ چیزی نباشد، به معنای ضرب می باشد. برای مثال:
این شیوه علامت گذاری در عبارتهای جبری رایج می باشد، تا جایی که جایگزین علامت ضرب (.) می شود:
یادتان باشد: برای حذف کردن پرانتزهای بدون علامت، جمله خارج از پرانتز را در تک تک جملات موجود در داخل پرانتز، ضرب کنید و سپس پرانتزها را حذف کنید. هنگامی که این مراحل را دنبال می کنید، در حال استفاده از ویژگی توزیع (distributive property) می باشید.
در اینجا مثالی داریم:
در این مورد، عدد 2 را در هر کدام از سه جمله موجود در داخل پرانتز ضرب کنید:
در این لحظه، این عبارت از عبارت اصلی پیچیده تر به نظر می رسد، اما حالا می توانید با ضرب کردن از شر هر سه جفت پرانتز خلاص شوید:
ضرب کردن در هر جمله موجود در داخل پرانتزها به سادگی توزیع ضرب در عملیات جمع می باشد (multiplication over addition) - که به آن ویژگی توزیع (distributive property) نیز گفته می شود - و در فصل 4 در موردش بحث کردم.
به عنوان مثالی دیگر، فرض کنید عبارت زیر را در اختیار دارید:
با ضرب کردن 2x- در سه جمله موجود در داخل پرانتز کار را آغاز کنید:
عبارت از آنچیزی که با آن آغاز کردید، بدتر به نظر می رسد، اما می توانید با ضرب کردن از شر همه پرانتزها خلاص شوید:
حالا می توانید جملات مشابه را با یکدیگر ترکیب کنید. من این کار را در دو مرحله انجام می دهم، ابتدا عبارت را بازچینش می کنم و سپس آن را ترکیب می کنم:
پرانتزها و عملیات FOIL
گاهی اوقات، عبارتها دارای دو جفت پرانتز هستند که در کنار یکدیگر قرار گرفته اند و هیچ علامتی بین دو جفت پرانتز قرار ندارد. در این حالت، شما باید تک تک جملات موجود در اولین جفت پرانتز را در تک تک جملات موجود در دومین جفت پرانتز، ضرب کنید.
نکته: هنگامی که در هر جفت از پرانتزها دو جمله جبری داشته باشید، می توانید از فرآیندی با نام FOIL استفاده کنید. کلمه FOIL سرنام کلمات First (اولین)، Outside (بیرونی)، Inside (درونی)، و Last (آخرین) می باشد. این کلمه در واقع به شما کمک می کند تا مطمئن گردید عبارتها را به درستی در یکدیگر ضرب می کنید.
فرآیند FOIL به شکل زیر می باشد:
-
First: با ضرب کردن دو جمله اول در پرانتزها کار را آغاز کنید.
فرض کنید می خواهید عبارت زیر را ساده کنید:
(2x – 2)(3x – 6)
اولین جمله در اولین جفت پرانتز 2x می باشد، و اولین جمله در دومین جفت پرانتز 3x می باشد. بنابراین 2x را در 3x ضرب می کنیم:
-
Outside: حالا دو جمله بیرونی را در یکدیگر ضرب کنید:
دو جمله بیرونی 2x و 6- می باشند، و هر دوی آنها در دو انتهای بیرونی پرانتزها قرار دارند:
-
Inside: حالا دو جمله درونی را در یکدیگر ضرب کنید.
دو جمله درونی 2- و 3x می باشند:
-
Last: در نهایت دو جمله آخر پرانتزها را در یکدیگر ضرب کنید.
آخرین جمله در اولین جفت پرانتز 2- و در دومین جفت پرانتز 6- می باشد:
این چهار نتیجه بدست آمده را به یکدیگر اضافه کنید تا عبارت ساده شده را بدست آورید:
در این مورد، شما می توانید این عبارت را با ترکیب جملات 12x- و 6x- ساده تر نیز کنید:
توجه داشته باشید که طی این فرآیند، شما تمامی جملات موجود در یک جفت پرانتز را در تمامی جملات موجود در جفت پرانتز دیگر، ضرب می کنید. عملیات FOIL صرفاً به شما کمک می کند تا عملیات را به درستی پیگیری کنید و مطمئن شوید که همه ضرب ها به درستی انجام گردند.
نکات فنی: عملیات FOIL در واقع فقط یک کاربرد از ویژگی توزیع (distributive property) می باشد. به عبارت دیگر، با استفاده از ویژگی توزیع داریم:
(2x – 2)(3x – 6) = 2x(3x – 6) + -2(3x – 6)سپس، توزیع دوباره آن به شما این نتیجه را می دهد:
6x2 – 6x – 12x + 12
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
مهدیه سادات موسوی ۱۴۰۰/۰۹/۲۲
سلام آقای انصاری خیلی خیلی عالی توضیح دادین اصلا محشر بود من دانش آموز زرنگی ام و معمولا با خوندن مطالب کتاب و حتی بدون تدریس معلمم میتونم یاد بگیرم اما تو این مشکل داشتم خوشبختانه شما به طور معجزه آوری به من کمک کردین. خوشحالم که تونستم سایتتون رو پیدا کنم حتما از این به بعد دنبالتون می کنم. ممنونمامیرمحمد ۱۴۰۰/۱۰/۱۳
عالی بود