خوش آموز اولین و تنها سایت آموزشی %100 رایگان ایران با 6140 آموزش متنی، تصویری و ویدئویی

تابع مساحت (area function)

تابع مساحت (area function)

کد مطلب : 6219 PDF

این مورد سخت است ـــ خودتان را برای مواجهه با آن آماده کنید. فرض کنید هر تابع قدیمی، \(f(t)\)، را دارید، تصور کنید که در مقدار \(t\) خاصی، آن را \(s\) بنامید، شما یک خط ثابت عمودی ترسیم می کنید. شکل 2-15 را ببینید.

دوره آموزش رایگان ریاضی پایه و جبر

سپس یک خط عمودی قابل حرکت دادن را در نظر بگیرید، که در همان نقطۀ \(s\) آغاز می شود، و آن را به سمت راست بکشید. همینطور که این خط را می کشید، مساحت بزرگتر و بزرگتری را در زیر این منحنی ایجاد می کنید. این مساحت تابعی از \(x\)، موقعیت خط در حال حرکت، می باشد. با نمادها آن را اینگونه می نویسید:
$$A_f(x)= \int_s^x f(x) dt$$
تابع مساحت آزار دهنده
توجه داشته باشید که \(t\) متغیر ورودی در \(f(t)\) می باشد، در واقع \(t\) جایگزین \(x\) شده است زیرا \(x\) در حال حاضر به چیز دیگری تخصیص داده شده است ـــ آن متغیر ورودی در \(A_f(x)\) می باشد. زیرنویسِ \(f\) در \(A_f\) نشان دهندۀ اینست که \(A_f(x)\) تابع مساحت برای منحنی خاص \(f\) یا \(f(t)\) می باشد. \(dt\) یک افزایش کوچک ـــ در واقع یک افزایش بی نهایت کوچک ـــ در امتداد محور \(t\) می باشد.

در اینجا مثال ساده ای داریم تا اطمینان حاصل کنیم که شما درک کرده اید یک تابع مساحت چگونه کار می کند. در ضمن، اگر درک این برایتان بسیار مشکل باشد، احساس بدی پیدا نکنید ـــ شما همراهان زیادی دارید. فرض کنید این تابع ساده را داشته باشید، \(f(t)=10\)، این یک خط افقی در \(y=10\) می باشد. اگر این مساحت را که در \(s=3\) آغاز می شود بکشید، به تابع مساحت زیر می رسید:
$$A_f(x)=\int_3^x 10 dt$$
شما می توانید ببینید که مساحت کشیده شده از \(3\) تا \(4\) برابر با \(10\) می باشد، زیرا در کشیدن این خط از \(3\) به \(4\)، شما یک مستطیل با عرض \(1\) و ارتفاع \(10\) بیرون می کشید، که دارای مساحت \(1\) ضربدر \(10\)، یا \(10\) می باشد. شکل 3-15 را ببینید.

تابع مساحت آزار دهنده
بنابراین، \(A_f(4)\)، مساحت بیرون کشیده شده همچنانکه شما به \(4\)می رسید، برابر با \(10\) می باشد. \(A_f(5)\) برابر با \(20\) می باشد زیرا هنگامی که این خط را به \(5\) بکشید، مستطیلی با عرض \(2\) و ارتفاع \(10\) را بیرون می کشید، که مساحت آن برابر با \(2 \times 10 = 20\) می باشد. \(A_f(6)\) برابر با \(30\) می باشد، و به همین ترتیب ادامه می یابد.

اکنون فرض کنید این خط را در امتداد یک نرخ یک واحد بر ثانیه می کشید. شما در \(x=3\) آغاز می کنید، و به \(4\) در \(1\) ثانیه می رسید، \(5\) در \(2\) ثانیه، \(6\) در \(3\) ثانیه، و به همین ترتیب. چه مساحتی را در هر ثانیه می گسترانید؟ ده واحد مربع بر ثانیه، زیرا در هر ثانیه شما \(1\) بر \(10\) مستطیل دیگر را می گسترانید. توجه داشته باشید ـــ این مهم است ـــ از آنجا که عرض هر مستطیلی که گسترشش می دهید برابر با \(1\) می باشد، مساحت هر مستطیل ـــ که با طول ضربدر عرض بدست می آید ـــ برابر با ارتفاع آن می باشد، زیرا هر چیزی ضربدر \(1\) برابر با خودش می شود. شما بزودی خواهید فهمید چرا این نکتۀ مهمی است. در ضمن، نرخ اصلی که ما در موردش اهمیت می دهیم مساحت گسترش داده شده در هر ثانیه نمی باشد، اما، نسبتاً، مساحت گسترانده شده در هر تغییر واحد بر روی محور \(x\) می باشد. من به این دلیل آن را با واژۀ بر ثانیه توضیح دادم که فکر کردن در مورد گسترش مساحت با این نرخ ساده تر است. و از آنجاییکه شما این خط را در امتداد محور \(x\) یک واحد در هر ثانیه می کشید، هر دو نرخ یکسان می باشند. شما می توانید انتخاب خودتان را داشته باشید.

مشتق یک تابع مساحت (area function) برابر با نرخ آن مساحت که گسترانده شده است می باشد. به یاد بیاورید که مشتق یک نرخ است. بنابراین، از آنجا که نرخ رشد تابع پیشین برابر با \(10\) واحد مربع بر ثانیه است، شما می توانید بگویید که مشتق آن برابر با \(10\) می باشد. بنابراین می توانید آن را اینگونه بنویسید:
$$\frac{d}{dx} A_f(x)=10$$

دوباره، این صرفاً به شما می گوید که با هر افزایش \(1\) واحدی در \(x\)، \(A_f\) (تابع مساحت) \(10\) واحد بالا می آید. اکنون چیز حیاتی اینجاست: توجه داشته باشید که این نرخ یا مشتق \(10\) برابر با ارتفاع تابع اصلی \(f(t)=10\) می باشد زیرا همینطور که \(1\) واحد رو به جلو پیش می روید، مستطیلی را گسترش می دهید که \(1\) در \(10\) می باشد، که دارای مساحت \(10\) است، یعنی ارتفاع آن تابع.

و این نرخ صرفنظر از عرض این مستطیل با \(10\) حل می شود. فرض کنید که این خط عمودی را از \(x=4\) به \(x=4.001\) کشیده اید. در نرخ یک واحد بر ثانیه، این به شما \(\frac{1}{1000}\)ام یک ثانیه را می دهد، و شما یک مستطیل لاغرمردنی با عرض \(\frac{1}{1000}\) یا \(\frac{1}{100}\) واحد مربع، را گسترش می دهید. بنابراین نرخ مساحتی که گسترانده می شود برابر با \(\frac{\frac{1}{100} \text{ square units}}{\frac{1}{1000} \text{ square units}}\) می باشد که برابر با \(10\) واحد مربع (square units) در ثانیه است. بنابراین می بینید که با هر افزایش کوچک در امتداد محور \(x\)، نرخ این مساحت برابر با ارتفاع تابع گسترش می یابد.

این برای هر تابعی، و نه فقط برای خطهای افقی، درست جواب می دهد. به تابع \(g(t)\) و تابع مساحت آن \(A_g(x)\) بنگرید که گسترش مساحت آن از \(s=2\) در شکل 4-15 آغاز می گردد.

تابع مساحت (area function)
بین \(x=3.6\) و \(x=3.7\)، \(A_g(x)\) با مساحت آن مستطیل تیرۀ لاغر مردنی با عرض \(0.1\) و ارتفاعی در حدود \(15\) رشد می کند. همانطور که می توانید ببینید آن واقعاً یک مستطیل نیست؛ بیشتر به یک ذوزنقه نزدیک است، اما آن هم نیست زیرا بالای کوچک آن اندکی منحنی است. اما، در حد، همینطور که عرض ها کوچکتر و کوچکتر می شوند، آن مستطیل لاغرمردنی دقیقاً مانند یک مستطیل واقعی عمل می کند. بنابراین، دوباره می گویم، \(A_g(x)\) با مساحت آن مستطیل تیره رشد می کند که دارای مساحتی به شدت نزدیک به \(0.1\) ضربدر \(15\) می باشد. این مساحت با \(0.1\) ثانیه گسترانده می شود، بنابراین نرخ مساحت گسترانده شده برابر با \(\frac{1.5 \text{ square units}}{0.1 \text{ seconds}}\) یا \(15\) واحد مربع بر ثانیه (square units per second) ، ارتفاع این تابع، می باشد.

نرخ مساحت گسترانده شده برابر با ارتفاع می باشد. نرخ مساحت گسترانده شده زیر یک منحنی توسط یک تابع مساحت در یک مقدار \(x\) خاص برابر با ارتفاع آن منحنی در آن مقدار \(x\) می باشد.



نویسنده : امیر انصاری

دیدگاه ها(0)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

لطفا پیش از ارسال دیدگاه ، به نکات زیر توجه فرمایید :

- از نوشتن دیدگاه های غیر مرتبط با پست جدا خودداری کنید.
- لطفاً دیدگاه های خود را با حروف فارسی تایپ کنید، دیدگاه های فینگیلیش تایید نمی شوند.
- قبل از ارسال دیدگاه حتما متن پست و نظرات سایر دوستان را بخوانید . نظرات اسپم و تکراری تایید نخواهند شد.
- نظر شما ممکن است بدون پاسخ تایید شوند که در این صورت باید منتظر پاسخ از سوی دیگر کاربران باشید .
- لطفا انتقادات و پیشنهادات و همچنین درخواست های خود را از طریق ایمیل khoshamoz[at].hotmail.com ارسال نمایید
- چرا آموزش های سایت خوش آموز در قالب فایل pdf به صورت یکجا ارائه نمی شوند؟
- چرا برخی پرسش های کاربران پاسخ داده نمی شوند؟

دوره آموزشی رایگان حسابان 1