نویسنده : امیر انصاری

1. تابعی بنویسید که مساحت این پنجره را به شکل تابعی از عرض آن تخمین بزند.
   
   
   
2. از روش کامل کردن مربع استفاده کنید تا ماکزیمم مساحت ممکن این پنجره و عرضی که منجر به آن مساحت می شود را به طور تقریبی بدست آورد.
   
   
3. با استفاده از فناوری، پاسختان در بخش b را درست آزمایی کنید.
   
   
4. سایر ابعاد این پنجره را تعیین کنید و طرحی از آن را ترسیم کنید. آیا ظاهر آن انتظارات شما را برآورده می سازد؟
   

پاسخ

1. اجازه دهید \(x\) نشان دهندۀ طول این مستطیل باشد. عبارتی برای محیط این پنجره بنویسید:
   $$
   6=2x+w+\frac{\pi w}{2}\\
   x = 3 - \frac{2+\pi}{4}w
   $$
   تابعی برای مساحت کل پنجره بنویسید:
   $$
   A=xw + \frac{\pi w^2}{8}\\
   A= \biggl( \color{red}{3-\frac{2+\pi}{4}w} \biggr) w + \frac{\pi w^2}{8}\\
   A=3w-\frac{2+\pi}{4}w^2 + \frac{\pi w^2}{8}\\
   A=\frac{-4-\pi}{8}w^2+3w\\
   A=-\frac{4+\pi}{8}w^2+3w
   $$
   
2. $$
   A=-\frac{4+\pi}{8}w^2+3w\\
   A=-\frac{4+\pi}{8} \biggl( w^2-\frac{24}{4+\pi}w \biggr)\\
   A=-\frac{4+\pi}{8} \biggl( w^2-\frac{24}{4+\pi}w + \bigl( \frac{12}{4+\pi} \bigr)^2 - \bigl( \frac{12}{4+\pi} \bigr)^2 \biggr)\\
   A=-\frac{4+\pi}{8} \biggl( \bigl( w^2 - \frac{24}{4+\pi}w + \bigl( \frac{12}{4+\pi} \bigr)^2 \bigr) - \bigl( \frac{12}{4+\pi} \bigr)^2 \biggr)\\
   A= -\frac{4+\pi}{8} \biggl( \bigl( w-\frac{12}{4+\pi} \bigr)^2 - \frac{144}{(4+\pi)^2} \biggr)\\
   A= -\frac{4+\pi}{8} \biggl( w-\frac{12}{4+\pi} \biggr)^2 + \frac{18}{4+\pi}
   $$
   رأس این تابع در نقطۀ \((\frac{12}{4+\pi},\frac{18}{\pi + 4})\) قرار دارد. بنابراین ماکزیمم مساحت ممکن برابر با \(\frac{18}{4+\pi}\) یا تقریباً \(2.52 \text{ m}^2\) می باشد و هنگامی به این ماکزیمم مساحت می رسیم که عرض برابر با \(\frac{12}{4+\pi}\) یا تقریباً برابر با \(1.68 \text{ m}\) باشد.
   
   
3. با استفاده از ماشین حساب نموداری پاسخ بدست آمده را درست آزمایی می کنیم:
   
   
   
4. قطر نیم دایره برابر با \(\frac{12}{4+\pi}\) یا تقریباً \(1.68 \text{ m}\) می باشد.
   طول این مستطیل هنگامی که عرض آن برابر با \(w=\frac{12}{4+\pi}\) باشد را می یابیم.
   $$
   x=3-\frac{2+\pi}{4}w\\
   x=3-\frac{2+\pi}{5}\bigl( \frac{12}{4+\pi} \bigr)\\
   x=3-\frac{6+3\pi}{4+\pi}\\
   x=\frac{6}{4+\pi}
   $$
   طول این مستطیل برابر با \(\frac{6}{4+\pi}\) یا تقریباً برابر با \(0.84 \text{ m}\) می باشد.
   همانطور که می بینید شکلی با مقیاسی از اندازه های اصلی نسبت به تصویری که خود مسأله ارائه داده است متفاوت می باشد.