معلم مارتین از او می خواهد تا روش کامل کردن مربع را بر روی تابع \(y=-4x^2+24x+5\) به کار گیرد. بعد از اینکه به پاسخ او نگاه می کند، معلم به او می گوید که مرتکب چهار خطا شده است. این خطاها را شناسایی کنید، توضیح دهید و تصحیحشان کنید.


پاسخ مارتین:


$$
y=-4x^2+24x+5\\
y=-4(x^2+6x)+5\\
y=-4(x^2+6x+36-36)+5\\
y=-4\biggl( (x^2+6x+36)-36 \biggr) +5\\
y=-4\biggl( (x+6)^2-36 \biggr) +5\\
y=-4(x+6)^2 - 216+5\\
y=-4(x+6)^2-211
$$

پاسخ

اولین خطای مارتین اینست که بدرستی فاکتورگیری نکرده است.
دومین خطای او اینست که باید مربع نصف ضریب \(x\) را اضافه و تفریق کند.
سومین خطای او اینست که عبارت \((x^2+6x+36)\) را به شکل مربع دوجمله ای فاکتورگیری کرده است و این در حالی است که این عبارت یک سه جمله ای مربع کامل نمی باشد.
آخرین خطای او در بسط دادن است.

برای درک بهتر این عملیات شکل صحیح آن را در ادامه می آوریم:
$$
y=-4x^2+24x+5\\
y=-4(x^2-6x)+5\\
y=-4(x^2-6x+9-9)+5\\
y=-4 \bigl( (x^2-6x+9)-9 \bigr)+5\\
y=-4\bigl( (x-3)^2-9 \bigr)+5\\
y=-4(x-3)^2+36+5\\
y=-4(x-3)^2+41
$$