نویسنده : امیر انصاری

1. تابع \(f(x)=2x^2-12x+22\) در شکل استاندارد به شما داده شده است، رأس آن را تعیین کنید.
   
2. با تبدیل این تابع به شکل رأس، رأس آن را تعیین کنید.
   
3. ارتباط بین پارامترهای \(a\)، \(b\)، و \(c\) در شکل استاندارد و پارامترهای \(a\)، \(p\)، و \(q\) در شکل رأس را تعیین کنید.
   

پاسخ

1. برای تعیین رأس در شکل استاندارد از فرمول \(\biggl( \frac{-b}{2a}, f\bigl( \frac{-b}{2a} \bigr) \biggr)\) استفاده می کنیم:
   $$
   \biggl( \frac{-b}{2a}, f\bigl( \frac{-b}{2a} \bigr) \biggr)\\
   \text{ }\\[2ex]
   \frac{-b}{2a}=\frac{-(\color{red}{-12})}{2(\color{red}{2})}\\
   \frac{-b}{2a}=3\\
   \text{ }\\[2ex]
   f\bigl( \frac{-b}{2a} \bigr)=f(3)\\
   f\bigl( \frac{-b}{2a} \bigr) =2(\color{red}{3})^2-12(\color{red}{3})+22\\
   f\bigl( \frac{-b}{2a} \bigr) = 18-36+22\\
   f\bigl( \frac{-b}{2a} \bigr) =4
   $$
   رأس این تابع در نقطۀ \((3,4)\) قرار دارد.
   
   
2. از روش کامل کردن مربع برای یافتن رأس استفاده کنید.
   $$
   f(x)=2x^2-12x+22\\
   f(x)=2(x^2-6x)+22\\
   f(x)=2(x^2-6x+9-9)+22\\
   f(x)=2 \biggl( (x^2-6x+9)-9 \biggr)+22\\
   f(x)=2 \biggl( (x-3)^2-9 \biggr)+22\\
   f(x)=2(x-3)^2 -18+22\\
   f(x)=2(x-3)^2 + 4
   $$
   
3. ارتباط بین این پارامترها در شکل استاندارد و شکل رأس به شرح زیر می باشد:
   $$
   a=a\\
   \text{ }\\[2ex]
   p=\frac{-b}{2a}\\
   \text{ }\\[2ex]
   q=f\bigl( \frac{-b}{2a} \bigr) \text{ or } \frac{4ac-b^2}{4a}
   $$