گویا کردن مخرج کسرها (Rationalizing Denominators)

برای ساده کردن عبارتی که دارای رادیکالی در مخرج کسر (denominator) می باشد، باید مخرج آن کسر را گویا (rationalize) کنید.

در عبارتی که در مخرج کسرش جذر یک جمله ایِ (monomial) باشد، صورت و مخرج آن را در جملۀ دارای رادیکال در مخرج آن، ضرب کنید.
$$
\frac{5}{2 \sqrt{3}} = \frac{5}{2 \sqrt{3}} \bigl( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \bigr)\\
= \frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} (\sqrt{3})}\\
= \frac{5 \sqrt{3}}{6}
$$
اگر در مخرج کسر یک دو جمله ای باشد که شامل جذر باشد، صورت و مخرج کسر را در مزدوج (conjugate) مخرج کسر، ضرب کنید.

مزدوج ها (conjugates):

دو فاکتور دو جمله ای که حاصل ضرب آنها تفاضل بین دو مربع باشد.
دو جمله ای های $(a+b)$ و $(a-b)$ مزدوج می باشند، زیرا حاصل ضرب آنها $a^2 - b^2$ می باشد.

حاصل ضرب یک جفت مزدوج برابر با تفاضل بین دو مربع می باشد.
$$
(a-b)(a+b)=a^2 - b^2\\
(\sqrt{u} + \sqrt{v}) (\sqrt{u} - \sqrt{v}) = (\sqrt{u})^2 + (\sqrt{v})(\sqrt{u}) - (\sqrt{v})(\sqrt{u}) - (\sqrt{v})^2 \\
= u - v
$$

در عبارت رادیکالِ $\frac{5 \sqrt{3}}{4-\sqrt{6}}$، مزدوجِ های $4 - \sqrt{6}$ برابر با $4 + \sqrt{6}$ و $-4 - \sqrt{6}$ می باشند. اگر هر کدام از این عبارات را در مخرج کسر ضرب کنید، حاصلضرب بدست آمده عددی گویا خواهد بود.
$$
\frac{5 \sqrt{3}}{4 - \sqrt{6}} = \bigl( \frac{5 \sqrt{3}}{4- \sqrt{6}} \bigr) \bigl( \frac{4+\sqrt{6}}{4+\sqrt{6}} \bigr)\\
= \frac{20 \sqrt{3} + 5 \sqrt{18}}{4^2 - (\sqrt{6})^2} \\
= \frac{20 \sqrt{3} + 5 \sqrt{9(2)}}{16 -6}\\
= \frac{20 \sqrt{3} + 15 \sqrt{2}}{10}\\
= \frac{4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}}{2}
$$

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی