نویسنده : امیر انصاری

1. ارتفاع این اسنوبورد سوار از سطح فرود در آغاز پرش چقدر می باشد؟
   
2. با روش کامل کردن مربع، این تابع را در شکل رأس بیان کنید. متغیر \(t\) را منزوی کنید.
   
3. ارتفاع دقیق این اسنوبورد سوار را در نیمۀ راه این پرش، تعیین کنید.
   

پاسخ

1. برای بدست آوردن ارتفاع آغازینِ این اسنوبورد سوار باید زمان را \(0\) ثانیه در نظر بگیریم، این یعنی \(h(0)\) را محاسبه کنیم.
   $$
   h(0)=3
   $$
   ارتفاع آغازین این اسنوبورد سوار \(3\) متر می باشد.
   
   
2. این تابع در شکل رأس:
   $$
   h(t)=-5 (t-1)^2 + 8
   $$
   اگر متغیر \(t\) را منزوی کنیم به معادلۀ زیر می رسیم:
   $$
   t=\sqrt{\frac{8-h}{5}} + 1
   $$
   
3. برای تعیین ارتفاع اسنوبورد سوار در نیمۀ پرش، ابتدا باید زمان پایان پرش، یعنی \(h(t)=0\)، را بدست آوریم. برای این منظور می توانیم معادلۀ اصلی را با فرمول معادلۀ حل درجه دوم حل کنیم، یا اینکه از مقدار بدست آمده در بخش c نیز استفاده کنیم.
   $$
   t=\sqrt{\frac{8-h}{5}} + 1\\
   t=\sqrt{\frac{8-(\color{red}{0})}{5}} + 1\\
   t = \frac{5+2\sqrt{10}}{5}
   $$
   وقتی که این اسنوبورد سوار در نیمۀ پرش قرار دارد، این زمان در نصف مدت زمان پایانی اش می باشد، یعنی:
   $$
   t=\frac{5+2\sqrt{10}}{5} \times \frac{1}{2}\\
   t = \frac{5+2\sqrt{10}}{10}
   $$
   با جایگذاریِ \(t = \frac{5+2\sqrt{10}}{10}\) در \(h(t)=-5t^2 + 10t +3\) می توانیم ارتفاع اسنوبورد سوار در نیمۀ پرش را بدست آوریم:
   $$
   h (\frac{5+2\sqrt{10}}{10}) = \frac{19+4\sqrt{10}}{4}
   $$
   ارتفاع دقیق این اسنوبوردسوار در نیمۀ پرش برابر با \(\frac{19+4\sqrt{10}}{4}\) متر می باشد.