آیا بیانیۀ زیر برای تمامی \(x,y \in R\)، صحیح می باشد؟ پاسختان را توجیه کنید.





$$
|x| + |y| = |x+y|
$$

پاسخ

\(|x+y|\) را به شکل یک تابع قطعه به قطعه می نویسیم:
$$
|x+y| =
\begin{cases}
x+y, \text{ if } x+y \ge 0\\
-x-y, \text{ if }x+y \lt 0
\end{cases}
$$

اگر \(x \ge 0\) و \(y \ge 0\)، این رابطه برقرار است، زیرا:
$$
|x|+|y|= x+y
$$
اگر \(x \lt 0\) و \(y \lt 0\):
$$
|x|+|y| = -x -y
$$

بیانیۀ \(|x|+|y| = |x+y|\) تنها زمانی صحیح است که \(x\) و \(y\) هر دو دارای علامت های یکسانی باشند.