حاصل عبارت زیر را به دست آورید.


$$


\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \text{...}+\frac{1}{1024}
$$
به جای حل کردن عبارت بالا، ابتدا ساده شدۀ این مسئله را حل کنید.
در پاسخ ها چه الگو و رابطه ای تشخیص می دهید که به کمک آن بتوانید پاسخ مسئلۀ اصلی را بدون محاسبه بنویسید؟

پاسخ

سعی می کنیم الگویی را بین این جمع ها پیدا کنیم، ابتدا دو عدد اول را با یکدیگر جمع می زنیم:
$$
\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
$$
حالا سراغ سه عدد اول می رویم:
$$
\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}
$$
حالا سراغ چهار عدد اول می رویم:
$$
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}
$$
حالا نگاهی به جمع هایی که تا الان زده ایم بیندازید، اگر دقت کنید مخرج پاسخ با مخرج آخرین کسر یکسان است و صورت پاسخ از مخرج آن یک واحد کوچکتر است، با این الگو می توانیم بگوییم که پاسخ نهایی اینگونه خواهد بود:
$$
\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \text{...}+\frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}
$$