عددهای \(18\) و \(12\) به صورت تجزیه شده، نوشته شده اند.


$$


18 = 2 \times 3 \times 3\\
12 = 2 \times 2 \times 3\\
[18,12]=
$$
با توجه به پاسخ بالا چه رابطه ای بین شمارنده اول دو عدد و ک.م.م آنها می بینید؟ توضیح دهید.
می توانید از مثال زیر هم استفاده کنید.
$$
A= \color{red}{3 \times 3 \times 5} \times \color{green}{5}\\
B = \color{blue}{2} \times \color{red}{5 \times 3 \times 3}\\
[A,B] = \color{red}{3 \times 3 \times 5} \times \color{blue}{2} \times \color{green}{5}
$$

پاسخ

برای به دست آوردن ک.م.م \(12\) و \(18\)، مضرب های این دو عدد را می نویسیم:
مضرب های \(12\):
$$
12,24,36,48,60,72,84,96,108,\text{...}
$$
مضرب های \(18\):
$$
18,36,54,72,90,108,126,\text{...}
$$
مضرب های مشترک \(12\) و \(18\):
$$
36,72,108,144,\text{...}
$$
ک.م.م \(12\) و \(18\):
$$
[18,12]= 36
$$
با توجه به پاسخ بالا چه رابطه ای بین شمارنده اول دو عدد و ک.م.م آنها می بینید؟ توضیح دهید.
اگر شمارنده های مشترک و غیر مشترک را در یکدیگر ضرب کنیم، به ک.م.م خواهیم رسید. اگر بخواهیم به زبان دیگری همین عبارت را بازنویسی کنیم، می توانیم بگوییم، برای بدست آوردن ک.م.م دو عدد، همۀ شمارنده های آن دو عدد را در یکدیگر ضرب می کنیم، با این استثناء که شمارنده های مشترک را فقط یک بار در این ضرب می آوریم.
برای درک بهتر این موضوع به مثال های زیر توجه کنید:
$$
18 = \color{red}{2 \times 3} \times 3\\
12 = 2 \times \color{red}{2 \times 3} \\
[18,12] = \color{red}{2 \times 3} \times 2 \times 3 = 36
$$
$$
15 = 3 \times \color{red}{5} \\
20 = 2 \times 2 \times \color{red}{5}\\
[15,20] = \color{red}{5} \times 2 \times 2 \times 3 = 60
$$
$$
8 = 2 \times 2 \times 2\\
9 = 3 \times 3\\
[8,9] = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 72
$$
$$
4 = \color{red}{2 \times 2} \\
8 = \color{red}{2 \times 2} \times 2\\
[4,8] = \color{red}{2 \times 2} \times 2 = 8
$$