خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


مبانی نمودار معادلات مثلثاتی

مبانی نمودار معادلات مثلثاتی
نویسنده : امیر انصاری
نمودارهای توابع مثلثاتی می توانند تنوع های بسیاری به لحاظ شکل و اندازۀ شان داشته باشند. به همان اندازه که این نمودارهای صرفاً با خودشان فوق العاده هستند، هنگامی که آنها را برای گنجیدن در یک وضعیت خاص تنظیم کنید، حتی بهتر و مفیدتر هم می شوند. در فصلهای 19، 20، و 21 به شما نشان دادم چگونه نمودار توابع مثلثاتی را با انتقال آنها به سمت بالا، پایین، چپ، و راست، سُر بدهید. همچنین به شما نشان دادم چگونه آنها را تندتر و مسطح تر کنید. در این فصل، من داستان مثلثات را با جابجایی های بیشتر کامل می کنم، علاوه بر آن با ترکیب نمودارها، حتی احتمالات هیجان انگیز بیشتری رخ می دهند. من با یک الگوی سادۀ اولیه برای یک تابع مثلثاتی کار را آغاز می کنم و از آن نقطه پیش خواهیم رفت.

آموزش سالیدورکز 20-2019



مبانی معادلات مثلثاتی


شما می توانید تمامی تبدیلات (transformations) مختلفی را که می توانید بر روی یک تابع مثلثاتی انجام دهید از چندین شکل خاص از معادلۀ آن تابع، شناسایی کنید. ابتدا معادلۀ کلی را بررسی کنید و سپس چندین مثال از اینکه هر معادلۀ خاص چه ظاهری می تواند داشته باشد را در نظر بگیرید.

شکل کلی یک معادلۀ مثلثاتی \(y=Af[B(x+C)]+D\) می باشد، که در آن:

  • \(f\) نشان دهندۀ تابع مثلثاتی می باشد.
  • \(A\) نشان دهندۀ دامنۀ نوسان (amplitude)، یا تندی می باشد.
    • یک \(A\) مثبت بدین معناست که آن نمودار به شکل معمول جهت دهی شده است.
    • یک \(A\) منفی بدین معناست که آن نمودار بر روی یک خط افقی چرخیده است.
  • \(B\) دورۀ تناوب (period) این نمودار را با فرمول \(\frac{2\pi}{B}\) یا \(\frac{\pi}{B}\)، بسته به دورۀ تناوب معمول آن تابع، تعیین می کند ـــ دورۀ تناوب طول بازه ای است که نمودار آن تابع برای تکرار خودش بدان نیاز دارد.
  • \(C\) یک انتقال به سمت چپ یا راست را تعیین می کند.
  • \(D\) یک انتقال به سمت بالا یا پایین را تعیین می کند.

در اینجا چند مثال از توابع مثلثاتی داریم که از این قالب استفاده می کنند:
$$
y=-2\sin[4(x+\frac{\pi}{4})]+3 \\
y=\frac{1}{2}\cos[\frac{1}{6}(x-\pi)]+1 \\
y=-\cot4x+\frac{1}{2}
$$
هر کدام از این اعداد نمودار اصلی را به روش خاصی تغییر می دهد.

در نمودار \(y=-2\sin[4(x+\frac{\pi}{4})]+3\) ، شما نموداری دارید که دارای چهار چرخۀ کامل از منحنی سینوس در فضایی که معمولاً فقط یک چرخه می یابید، می باشد. این نمودار دارای بالاترین مقدار \(5\) می باشد (\(2\) را با \(3\) جمع بزنید)، اندکی به سمت چپ منتقل شده است، و رو به سمت پایین می رود، در حالیکه منحنی سینوس معمولاً رو به بالا می رود. آیا این اندکی رمزآلود به نظر می رسد؟ اگر اینطور است، به فصل 19 مراجعه کنید و جزئیات مربوط به این خصوصیات را مرور کنید.

برای یکی دیگر آماده اید؟ در نمودار \(y=\frac{1}{2}\cos[\frac{1}{6}(x-\pi)]+1\) ، اگر صرفاً بین \(-2\pi\) و \(2\pi\) را ببینید، این نمودار اندکی از رشد باز مانده است. این مسأله به این دلیل است که فقط \(\frac{1}{6}\) از منحنی معمول کسینوس در فضایی که شما معمولاً کل منحنی را می یابید وجود دارد. همچنین این منحنی فقط نصف ارتفاع معمول را دارد، و \(1\) واحد به سمت بالا و در حدود \(3\) واحد به سمت راست منتقل شده است. اگر این نمودار را داشته باشید و بخواهید از روی آن معادلۀ تابعش را ایجاد کنید، کار خیلی سختی را خواهید داشت.

آخرین مورد، سریع و آسان است. نمودار \(y=-\cot 4x+\frac{1}{2}\) دارای چهار چرخۀ کتانژانت کامل، در جایی که فقط یک چرخه می یابید، می باشد. همچنین بر روی یک محور افقی چرخیده است، و به اندازۀ \(\frac{1}{2}\) واحد بالاتر رفته است.

در بخشهای پیش رو، چندین ابزار برای محاسبۀ نمودار این نوع از توابع مثلثاتی به شما می دهم.

برگرداندن روی یک خط افقی


هنگامی که یک تابع مثلثاتی را در عددی منفی ضرب می کنید، تمامی مقادیر خروجی معکوس می شوند. مقادیر مثبت منفی می شوند، و مقادیر منفی مثبت می گردند. تاثیر این عملیات بر روی نمودار اینست که یک بازتاب یا برگرداندن بر روی یک خط افقی را نشان می دهد. به عنوان مثال، شکل 1-22 نمودار \(y=-\sin x\) را در مقایسه با نمودار \(y=\sin x\) نشان می دهد.

مبانی نمودار معادلات مثلثاتی
این دو نمودار را در مقایسه با یکدیگر ببینید. به نظر می رسد نمودار اصلی بر روی محور \(x\) برگردانده شده باشد.

تفسیر معادله عمومی توابع مثلثاتی


هر کدام از حروف الفبای مختلف در معادلۀ عمومی یک تابع مثلثاتی دارای هدفی می باشد. در اینجا توضیحی همراه با جزئیات بیشتر برای هر بخش داریم.

\(A\) برای دامنۀ نوسان است


حرف الفبای \(A\) نشان دهندۀ دامنۀ نوسان تابع سینوس یا کسینوس می باشد، و بر روی تندی یا مسطح بودن نمودار هر کدام از توابع مثلثاتی تاثیر می گذارد. اگر قدر مطلق (نادیده گرفتن \(+\) یا \(-\)) \(A\) عددی بزرگتر از \(1\) باشد، آن گاه نمودار مربوطه تندتر از حد معمول خواهد بود. اگر قدرمطلق \(A\) بین \(0\) و \(1\) باشد، آن گاه نمودارش مسطح تر خواهد بود. هرچقدر این عدد بزرگتر باشد، منحنی تندتر خواهد بود. هرچقدر این عدد به \(0\) نزدیکتر باشد، منحنی مسطح تر خواهد بود.

\(B\) برای دورۀ تناوب است


ضریب \(B\) بر روی طول دورۀ تناوب نمودار، یا اینکه در امتدا محور \(x\) چقدر پیش می رود، تاثیر می گذارد. سینوس، کسینوس، کسکانت، و سکانت همگی به طور نرمال دارای دورۀ تناوب \(2\pi\) می باشند. تانژانت و کتانژانت دارای دورۀ تناوب \(\pi\) می باشند. اگر دورۀ تناوب نُرمال آن تابع را بر مقدار \(B\) تقسیم کنید، به طول دورۀ تناوب جدید، دست می یابید. روش دیگری برای انجام این کار اینست: \(B\) به شما می گوید آن منحنی چند چرخۀ کامل در فضایی که معمولاً فقط یک چرخه باید باشد، ایجاد می کند. اگر \(B\) برابر با \(2\) باشد، آن نمودار در جایی که باید فقط یک چرخه باشد، دو چرخۀ کامل خواهد داشت.

\(C\) برای سُرخوردن به سمت چپ و راست است


مقدار \(C\) با منتقل کردن کل منحنی به سمت چپ یا راستِ، محلی که معمولاً منحنی در آنجا قرار دارد، نمودار را تغییر می دهد. اگر \(C\) را تفریق کنید، نمودار \(C\) واحد به سمت راست می رود. اگر \(C\) را بیفزایید، نمودار \(C\) واحد به سمت چپ می رود.

\(D\) برای لغزیدن رو به سمت بالا یا پایین است


مقدار \(D\) بیان می دارد نمودار چقدر از محل اصلی اش رو به بالا یا پایین منتقل می شود. یک \(D\) مثبت نمودار را به سمت بالا و یک \(D\) منفی نمودار را به سمت پایین می برد. همچنین، مقدار \(D\) نشان دهندۀ میانگین یا مقدار میانی منحنی سینوس و کسینوس است، و نشان دهندۀ فضای باز منحنی های سکانت و کسکانت می باشد.


با معرفی سایت خوش آموز به دوستان و همکلاسی هایتان از ما حمایت کنید.

دیدگاه ها(0)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.

لطفا پیش از ارسال دیدگاه ، به نکات زیر توجه فرمایید :

- از نوشتن دیدگاه های غیر مرتبط با پست جدا خودداری کنید. دیدگاه ها و سوالات متفرقۀ خود را می توانید در تالارهای گفتمان خوش آموز مطرح نمایید.
- لطفاً دیدگاه های خود را با حروف فارسی تایپ کنید، دیدگاه های فینگیلیش تایید نمی شوند.
- قبل از ارسال دیدگاه حتما متن پست و نظرات سایر دوستان را بخوانید . نظرات اسپم و تکراری تایید نخواهند شد.
- نظر شما ممکن است بدون پاسخ تایید شوند که در این صورت باید منتظر پاسخ از سوی دیگر کاربران باشید .
- لطفا انتقادات و پیشنهادات و همچنین درخواست های خود را از طریق ایمیل khoshamoz[at].hotmail.com ارسال نمایید
- چرا آموزش های سایت خوش آموز در قالب فایل pdf به صورت یکجا ارائه نمی شوند؟
- چرا برخی پرسش های کاربران پاسخ داده نمی شوند؟