همانطور که در فصل 9 توضیح دادم، بنیادی ترین معنای یک مشتق اینست که یک نرخ است، یک این بر آن، مانند مایل بر ساعت، و هنگامی که شما نمودار این را به عنوان تابعی از آن ترسیم می کنید (مانند مایلها به عنوان تابعی از ساعتها)، مشتق تبدیل به شیب آن تابع می شود. به عبارت دیگر، مشتق یک نرخ است، که بر روی نمودار به شکل یک شیب ظاهر می شود.





با انتگرال گیری نیز به طرز مشابهی کار می کند. بنیادی ترین مفهوم انتگرال گیری، جمع زدن می باشد (به عنوان مثال، شما ممکن است مسافت ها یا حجم ها را با یکدیگر جمع بزنید). و هنگامی که انتگرال گیری را بر روی نمودار نشان می دهید، می توانید ببینید که فرآیند جمع زدن به شکل جمع کردن تکه های کوچک از مساحت است تا به مجموع مساحت زیر یک منحنی برسید. شکل 2-14 را در نظر بگیرید.


مساحت ناحیۀ سایه دار در شکل 2-14 می تواند با انتگرال (integral) زیر محاسبه گردد:
$$\int_a^b f(x)dx$$
به مستطیل باریکِ موجود در شکل 2-14 بنگرید. این مستطیل دارای ارتفاع \(f(x)\) و عرض \(dx\) می باشد (اندکی از \(x\))، بنابراین مساحت آن (مسلماً، طول ضربدر عرض) با \(f(x) \cdot dx\) بدست می آید. انتگرال بالا به شما می گوید که مساحت های تمامی این نوارهای باریک مستطیل شکلِ بین \(a\) و \(b\) را که زیر منحنی \(f(x)\) قرار دارند، با یکدیگر جمع بزنید. همینطور که این نوارها، باریک و باریکتر می شوند، شما به برآورد بهتر و بهتری از این مساحت می رسید. قدرت انتگرال گیری (integration) در این واقعیت نهفته است که با نوعی از جمع زدن تعداد بی نهایت از مستطیل های بی نهایت باریک، مساحت دقیق را به شما می دهد.

اگر مشغول حل مسأله ای باشید که در آن هر دو محور \(x\) و \(y\) با واحدی از طول، فرضاً فوت، برچسب گذاری شده باشند، سپس هر مستطیل باریک با تعداد زیادی فوت در تعداد زیادی فوت انداه گیری می شود، و مساحت آن ـــ طول ضربدر عرض ـــ برابر با عددی در واحد فوت مربع (square feet) می باشد. در این مورد، هنگامی که آنها را با هم ادغام می کنید تا به مساحت کل زیر منحنی بین \(a\) و \(b\) برسید، پاسخ نهایی شما یک مقدار از مساحت می باشد. اما شما می توانید از این طرح جمع زدن مساحت هایی از مستطیل ها برای جمع زدن تکه های ریز هر چیزی ـــ برای مثال، مسافت، حجم، یا انرژی ـــ استفاده کنید. به عبارت دیگر، مساحت زیر این منحنی، الزاماً نشان دهندۀ مساحت واقعی نمی باشد.

به عنوان مثال، اگر واحدهای محور \(x\) برابر با ساعتها (hours) باشند و محور \(y\) با مایل بر ساعت (miles per hour) برچسب گذاری شده باشد، سپس از آنجا که نرخ ضربدر زمان برابر با مسافت (distance) می باشد (و از آنجا که \(\frac{\text{miles}}{\text{hour}} \cdot \text{hours} = \text{miles}\)) ، مساحت هر مستطیل نشان دهندۀ مقداری از مسافت (در واحد مایل) می باشد، و مجموع مساحت، مجموع مسافت طی شده در طول بازۀ زمانی داده شده، را به شما می دهد. یا اگر محور \(x\) با ساعتها و محور \(y\) با کیلووات از انرژی الکتریسیته برچسب گذاری شده باشند ـــ در آن صورت این منحنی برق مصرفی را به شکل تابعی از زمان به شما می دهد ـــ سپس مساحت هر نوار مستطیلی شکل (کیلووات ها ضربدر ساعتها) عددی از کیلووات ساعت (kilowatt-hours) از انرژی را نشان می دهد. در آن صورت، مساحت کل زیر این منحنی، مجموع کیلووات ساعت میزان انرژی مصرف شده بین دو نقطه از زمان را نشان می دهد.

شکل 3-14 به شما نشان می دهد چگونه می توانید مسالۀ حجم چراغ ـــ که پیشتر در همین فصل مطرح شد ـــ را با جمع زدن مساحتها انجام دهید. در این نمودار، تابع \(A(h)\) مساحت سطح مقطع (cross-sectional area) از یک برش پنکیک باریک از این چراغ را به شکل تابعی از ارتفاع آن که از پایین چراغ اندازه گیری شده است، به شما می دهد. بنابراین این بار محور \(h\) (این \(h\) ارتفاع از پایین این چراغ می باشد) با اینچ ها (inches) و محور \(y\) با اینچ های مربع (square inches) برچسب گذاری شده اند، و از اینرو هر مستطیل باریک دارای عرضی می باشد که در واحد اینچ ها اندازه گیری می شود و ارتفاعی که با اینچ های مربع اندازه گیری می شود. بدین ترتیب مساحت آن نشان دهندۀ اینچ ها ضربدر اینچ های مربع، یا اینچ های مکعب از حجم می باشد.


مساحت مستطیل باریک در شکل 3-14 حجم برش پنکیک باریک از چراغ که در فاصلۀ \(5\) اینچی از انتهای پایۀ آن قرار دارد را نشان می دهد. مجموع کل مساحت سایه دار و از اینرو حجم پایۀ این چراغ، با انتگرال زیر بدست می آید:



این انتگرال به شما می گوید تا این حجمهای تمامی برش های باریک پنکیک ها را از \(0\) تا \(15\) اینچ (که از انتها تا بالای پایۀ این چراغ می باشد) با یکدیگر جمع بزنید، هر برش دارای حجمی می باشد که با \(A(h)\) (مساحت سطح مقطع آن) ضربدر \(dh\) (ارتفاع یا ضخامت آن) بدست می آید. راستی، شکل 3-14 شبیه نیمۀ سمت چپ پایۀ این چراغ می باشد (که یک وری شده است)، اما آن نیست.

اوکی، این چیزهای مقدماتی بس است. در بخش بعدی، شما واقعاً مساحت هایی را محاسبه خواهید کرد.