سه عدد \(a\)، \(b\)، و \(c\) یک سری هندسی را تشکیل می دهند، به نحویکه \(a+b+c=35\) و \(abc=1000\) می باشد. مقادیر \(a,b,c\) چه هستند؟

پاسخ

$$a+b+c=35\\
a+ar+ar^2=35\\
\to b=ar, c=ar^2\\
\text{ }\\[2ex]
abc=1000\\
a \cdot ar \cdot ar^2 =1000\\
a^3 r^3 = 1000\\
\sqrt[3]{a^3 r^3} = \sqrt[3]{1000}\\
ar=10\\
r=\frac{10}{a}\\
\text{ }\\[2ex]
a+ar+ar^2=35\\
a+a(\frac{10}{a})+a(\frac{10}{a})^2=35\\
a+10+a(\frac{100}{a^2})=35\\
a+10+\frac{100}{a}=35\\
a+10+\frac{100}{a}-35=0\\
a+\frac{100}{a}-25=0\\
\frac{a^2+100-25a}{a}=0\\
a^2-25a+100=0\\
(a-20)(a-5)=0\\
a=20 \text{ or } a=5\\
\text{ }\\[2ex]
\text{if } a=20\\
r=\frac{10}{a}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\\
b=ar = 20(\frac{1}{2}) = 10\\
c=ar^2=20(\frac{1}{2})^2=20(\frac{1}{4})=5\\
\text{ }\\[2ex]
\text{if } a=5\\
r=\frac{10}{a}=\frac{10}{5}=2\\
b=ar = 5(2) = 10\\
c=ar^2=5(2)^2=5(4)=20
$$