"تام" یاد گرفته است که پروانۀ "مانِرک" (monarch) به طور متوسط \(400\) تخم می گذارد. او تصمیم گرفته است تا رشد جمعیت این پروانه ها را از یک پروانه با استفاده از این منطق که اولین پروانه \(400\) پروانه تولید می کند، محاسبه کند. هر کدام از آن پروانه ها \(400\) پروانه تولید می کند و این الگو همینطور ادامه خواهد یافت. تام می خواست تخمین بزند که در نسل پنجم طبق این الگو، چند پروانه وجود خواهد داشت. محاسبات او در ادامه نشان داده شده است.





$$
S_n=\frac{t_1 \bigl( r^n -1 \bigr) }{r-1}\\
S_5=\frac{1(400^5 -1)}{400-1}\\
S_5=2.566 \cdot 10^{10}
$$
تام محاسبه کرده است که تقریباً \(2.566 \times 10^{10}\) پروانه مانرک در پنجمین نسل وجود خواهد داشت.

1. تام در محاسباتش چه فرضیاتی را در نظر گرفته است؟
   
2. آیا با روشی که تام برای رسیدن به تعداد این پروانه ها استفاده کرده است، موافقید؟ توضیح دهید.
   
3. آیا این می تواند یک تخمین منطقی از تعداد پروانه ها در نسل پنجم باشد؟ توضیح دهید.
   
4. روشی را توضیح دهید که شما برای محاسبۀ تعداد پروانه ها در نسل پنجم استفاده خواهید کرد.
   

پاسخ

1. تام فرض گرفته است که همۀ پروانه ها تعداد یکسانی تخم بگذارند و از همۀ تخم ها پروانه بدنیا بیاید.
   
2. خیر. تام مجموع تعداد پروانه ها از اولین پروانه تا نسل پنجم را محاسبه کرده است. او باید جملۀ پنجم را می یافت که فقط تعداد پروانه ها در نسل پنجم را نشان دهد.
   
3. این یک تخمین منطقی است، اما شامل تمامی پروانه ها از پروانۀ اول تا نسل پنجم می باشد، این تخمین \(6.42 \times 10^7\) پروانه، بیشتر از پروانه های تولید شده در نسل پنجم می باشد.
   
4. $$
   t_5=1(400)^4 = 2.56 \times 10^{10}
   $$