یک فراکتال به شرح زیر ایجاد شده است: دایره ای با شعاع \(8 \text{ cm}\) رسم شده است. دایرۀ دیگری با نصف شعاع دایرۀ قبلی رسم شده است. همانطور که در تصویر زیر می بینید، این دایرۀ جدید در نقطۀ \(T\) با دایرۀ قبلی مماس است. فرض کنید این الگو تا پنج مرحله ادامه یابد. مجموع مساحت های این دایره ها چقدر است؟ پاسختان را به شکل یک کسر دقیق بیان کنید.

پاسخ

ابتدا با کمک شعاع دایرۀ اول و شعاع دایرۀ دوم، مساحت های دو دایرۀ اول را محاسبه می کنیم. از آنجا که سری ما متشکل از این مساحت ها می باشند، با تقسیم کردن مساحت دایرۀ دوم بر روی مساحت دایرۀ اول، قدر نسبت را بدست می آوریم:
$$
A_{circle} = \pi r^2\\
t_1 = \pi 8^2=64 \pi\\
t_2 = \pi 4^2=16 \pi\\
r = \frac{64 \pi}{16 \pi} = \frac{1}{4}\\
\text{ }\\[2ex]
S_n=\frac{t_1 \biggl( r^n -1 \biggr) }{r-1}\\
S_5 = \frac{64 \pi \biggl( \bigl( \frac{1}{4} \bigr)^5 -1 \biggr)}{\frac{1}{4}-1}\\
S_5 = \frac{64 \pi \bigl( -\frac{1023}{1024} \bigr)}{-\frac{3}{4}}\\
S_5 = \frac{341}{4} \pi
$$