تمرین 23: سری هندسی بی نهایت، آزمایشگاه کوچک

در یک گروه سه نفره این فعالیت را انجام دهید.

مرحلۀ 1: با یک برگه کاغذ شبکه ای بزرگ کار را آغاز کنید و یک مربع رسم کنید. فرض کنید که مساحت این مربع $1$ باشد.
مرحلۀ 2: این مربع را به چهار قسمت مساوی بُرش دهید. هر بُرش را به یکی از اعضای گروهتان بدهید. بخش باقیمانده را به $4$ قسمت مساوی تقسیم کنید. دوباره هر بُرش از آن را به یکی از اعضای گروه بدهید. قسمت باقیمانده را به $4$ قسمت مساوی تقسیم کنید. فرض کنید که می توانید این الگو را تا ابد ادامه دهید.
مرحلۀ 3: دنباله ای برای کسری از مربع اصلی که هر دانش آموز در هر مرحله دریافت می کند، بنویسید.

n 1
2
3
4

کسری از کاغذ
مرحلۀ 4: مساحت کل کاغذی را که هر دانش آموز دارد به صورت یک سری از مجموع های جزئی بنویسید. انتظار دارید این جمع چه باشد؟

n	1	2	3	4
کسری از کاغذ

پاسخ

مرحلۀ 3:

n	1	2	3	4
کسری از کاغذ	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{64}$	$\frac{1}{256}$

مرحلۀ 4:
$$
\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\text{...}\\
S_{\infty}=\frac{t_1}{1-r},-1 \lt r \lt 1\\
S_{\infty}= \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}\\
S_{\infty}= \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}\\
S_{\infty}= \frac{1}{3}
$$

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی