یک قطعه کاغذ مربع شکل به طول ضلع \(24 \text{ cm}\) به چهار مربع کوچک بریده می شود که طول ضلع هر کدام از آنها \(12 \text{ cm}\) می باشد. سه تا از این مربع ها کنار یکدیگر قرار می گیرند. مربع باقیمانده به چهار مربع کوچکتر، به طول ضلع \(6 \text{ cm}\) بریده می شود. سه تا از این مربع ها در کنار مربع های بزرگتر مرحلۀ قبل قرار می گیرند. چهارمین مربع به چهار مربع کوچکتر بریده می شود و سه تا از این مربع ها در کنار مربع های قبلی قرار می گیرند. فرض کنید که این فرآیند به طور نامحدود ادامه یابد. طول این مربع های کنار یکدیگر چیده شده چقدر می باشد؟

پاسخ

از کنار هم قرار دادن این مجموعه های سه مربع هم اندازه، در کنار یکدیگر، یک سری هندسی تشکیل می شود:
$$
3(12)+3(6)+3(3)+\text{...}\\
36+18+9+\text{...}
$$
قدر نسبت این سری \(\frac{1}{2}\) می باشد. برای بدست آوردن طول تمامی این مربع ها از فرمول جمع سری هندسی همگرا استفاده می کنیم:
$$
S_{\infty} = \frac{t_1}{1-r}, -1 \lt r \lt 1\\
S_{\infty} = \frac{36}{1-\frac{1}{2}}\\
S_{\infty} = \frac{36}{\frac{1}{2}}\\
S_{\infty} = 72 \text{ cm}
$$