در زیر دو سری همراه با جمع هر سری نشان داده شده اند. قدر نسبت سری اول \(0.98\) و قدر نسبت سری دوم \(0.02\) می باشد. مجموع این دو قدر نسبت برابر با \(1\) می شود.





$$
0.98+0.98^2+0.98^3+\text{...}+0.98^n=49\\
0.02+0.0004+0.000008+\text{...}=\frac{1}{49}
$$
فرض کنید \(\frac{1}{z}=x+x^2+x^3+\text{...}\) باشد و در آن \(z\) عددی صحیح و \(x=\frac{1}{z+1}\) باشند.

1. دو جفت سری دیگر بسازید که از این الگو تبعیت کنند، که در آنها قدر نسبت دو سری \(1\) شود.
   
2. با استفاده از فرمول جمع سری بی نهایت، مجموع هر سری را تعیین کنید.
   

پاسخ

1. $$
   \frac{4}{5} + \bigl( \frac{4}{5} \bigr)^2 + \bigl( \frac{4}{5} \bigr)^3 + \text{...} + \bigl( \frac{4}{5} \bigr)^n \\
   \frac{1}{5} + \bigl( \frac{1}{5} \bigr)^2 + \bigl( \frac{1}{5} \bigr)^3 + \text{...} + \bigl( \frac{1}{5} \bigr)^n
   $$
   
2. $$
   S_{\infty} = \frac{t_1}{1-r}, -1 \lt r \lt 1\\
   S_{\infty} = \frac{\frac{4}{5}}{1-\frac{4}{5}}= 4\\
   \text{ }\\[2ex]
   S_{\infty} = \frac{t_1}{1-r}, -1 \lt r \lt 1\\
   S_{\infty} = \frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}}=\frac{1}{4}
   $$