بیستمین جملۀ یک دنبالۀ هندسی \(524,288\) و چهاردهمین جملۀ آن \(8,192\) می باشد. مقدار جملۀ سوم آن کدام گزینه است؟

1. فقط \(4\)
   
2. فقط \(8\)
   
3. \(+4\) یا \(-4\)
   
4. \(+8\) یا \(-8\)
   

پاسخ

گزینۀ \(\text{c}\) صحیح است.
$$
t_n=t_1 r^{n-1}\\
t_{20} = t_1 r^{20-1}\\
524,288=t_1 r^{19}\\
\text{ }\\[2ex]
t_{14}=t_1 r^{14-1}\\
8,192=t_1 r^{13}\\
\frac{8,192}{r^{13}} = t_1\\
\text{ }\\[2ex]
524,288=t_1 r^{19}\\
524,288=\bigl( \frac{8,192}{r^{13}} \bigr) r^{19}\\
524,288= 8,192 r^6\\
\frac{524,288}{8,192} = r^6\\
\pm \sqrt[6]{\frac{524,288}{8,192}} = r\\
\pm 2 = r\\
\text{ }\\[2ex]
\text{if } r=+2\\
8,192=t_1 r^{13}\\
8,192 = t_1 (2)^{13}\\
8,192 = t_1 (8192)\\
\frac{8,192}{8,192} = t_1\\
1 = t_1\\
t_3 = t_1 r^{3-1}\\
t_3 = t_1 r^2\\
t_3 = 1 (2)^2 = 1(4)=4\\
\text{ }\\[2ex]
\text{if } r=-2\\
8,192=t_1 r^{13}\\
8,192 = t_1 (-2)^{13}\\
8,192 = t_1 (-8,192)\\
\frac{8,192}{-8,192} = t_1\\
-1 = t_1\\
t_3 = t_1 r^2\\
t_3 = -1 (-2)^2=-1(4)=-4
$$