نقطۀ \(P(-8,15)\) بر روی بازوی نهایی زاویۀ \(\theta\) در موقعیت استاندارد قرار گرفته است. مقادیر دقیق نسبت های مثلثاتی برای \(\sin \theta\)، \(\cos \theta\)، و \(\tan \theta\) را تعیین کنید.

پاسخ

با کشیدن خطی از نقطۀ \((-8,15)\) که بر محور \(x\) عمود می باشد، یک مثلث مرجع (reference triangle) ترسیم کنید. نقطۀ \(P(-8,15)\) در ربع صفحۀ دوم (quadrant II) قرار دارد، بنابراین بازوی نهایی این زاویه در ربع صفحۀ دوم قرار دارد.
از قضیۀ فیثاغورث (Pythagorean Theorem) برای تعیین مسافت \(r\) از \(P(-8,15)\) تا مبدأ مختصات \((0,0)\) استفاده کنید.
$$
r=\sqrt{x^2+y^2}\\
r=\sqrt{(\color{red}{-8})^2 + (\color{red}{15})^2}\\
r=\sqrt{289}\\
r=17
$$
نسبت های مثلثاتیِ زاویۀ \(\theta\) می تواند به شکل زیر نوشته شوند:
$$
\sin \theta=\frac{y}{r}\\
\sin \theta = \frac{15}{17}\\
\text{ }\\[2ex]
\cos \theta = \frac{x}{r}\\
\cos \theta = \frac{-8}{17}=-\frac{8}{17}\\
\text{ }\\[2ex]
\tan \theta=\frac{y}{x}\\
\tan \theta = \frac{15}{-8}=-\frac{15}{8}
$$

حالا نوبت شماست

نقطۀ \(P(-5,-12)\) بر روی بازوی نهایی زاویۀ \(\theta\) در موقعیت استاندارد قرار گرفته است. مقادیر دقیق نسبت های مثلثاتی برای \(\sin \theta\)، \(\cos \theta\)، و \(\tan \theta\) را تعیین کنید.