فرض کنید \(\theta\) زاویه ای در موقعیت استاندارد باشد که بازوی نهایی آن در ربع صفحۀ سوم (quadrant III) قرار گرفته است و \(\cos \theta = -\frac{3}{4}\) می باشد. مقادیر دقیق \(\sin \theta\) و \(\tan \theta\) چه می باشند؟

پاسخ

یک طرح بکشید.


از تعریف کسینوس برای یافتن مقادیر دقیق \(x\) و \(r\) استفاده کنید.
$$
\cos \theta = \frac{x}{r}\\
\cos \theta = -\frac{3}{4}
$$
از آنجا که بازوی نهایی در ربع صفحۀ سوم قرار دارد، \(x\) منفی می باشد. \(r\) همیشه مثبت است. بنابراین، \(x=-3\) و \(r=4\).
از \(x=-3\) و \(r=4\) و قضیۀ فیثاغورث برای یافتن \(y\) استفاده کنید:
$$
x^2+y^2=r^2\\
(\color{red}{-3})^2 + y^2 = \color{red}{4}^2\\
9+y^2 = 16\\
y^2 = 16-9\\
y^2 = 7\\
y=\pm\sqrt{7}
$$
از آنجا که در ربع صفحۀ سوم مقدار \(y\) منفی است، پس \(y=-\sqrt{7}\)
$$
\sin \theta = \frac{y}{r}\\
\sin \theta = \frac{\color{red}{-\sqrt{7}}}{\color{red}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{4}\\
\text{ }\\[2ex]
\tan \theta = \frac{y}{x}\\
\tan \theta = \frac{\color{red}{-\sqrt{7}}}{\color{red}{-3}}=\frac{\sqrt{7}}{3}
$$

حالا نوبت شماست

فرض کنید \(\theta\) زاویه ای در موقعیت استاندارد باشد که بازوی نهایی آن در ربع صفحۀ سوم قرار گرفته باشد و \(\tan \theta = \frac{1}{5}\) . مقادیر دقیق \(\sin \theta\) و \(\cos \theta\) را تعیین کنید.