نویسنده : امیر انصاری

پاسخ

1. $$
   \frac{\sin C}{c}=\frac{\sin B}{b}\\
   \frac{\sin C}{13} = \frac{\sin 67^{\circ}}{12}\\
   \sin C=\frac{13 \sin 67^{\circ}}{12}\\
   \angle{C} = \sin^{-1} \biggl( \frac{13 \sin 67^{\circ}}{12} \biggr)\\
   \angle{C} \approx 86^{\circ}
   $$
   هرگاه که از تابع معکوس سینوس استفاده می کنیم باید توجه کنیم که ممکن است مسأله دو پاسخ داشته باشد، بنابراین امکان وجود پاسخ دوم را نیز بررسی می کنیم:
   $$
   \angle{C} = 180^{\circ} - 86^{\circ} = 94^{\circ}
   $$
   حالا بررسی می کنیم که آیا \(\angle{C}\) می تواند برابر با \(94^{\circ}\) باشد، برای این منظور آن را با \(\angle{B}\) جمع می زنیم و بررسی می کنیم که مجموع آنها باید از \(180^{\circ}\) کمتر باشد:
   $$
   \angle{C} + \angle{B} \lt 180^{\circ}\\
   94^{\circ} + 67^{\circ} \lt 180^{\circ}\\
   161^{\circ} \lt 180^{\circ}
   $$
   بررسی نشان می دهد که در این مسأله دو پاسخ (در واقع دو مثلث) داریم. جداگانه هر کدام از آنها را بررسی می کنیم.
   اگر \(\angle{C} = 86^{\circ}\) ، آن گاه:
   $$
   \angle{A} = 180^{\circ} - 67^{\circ} - 86^{\circ} = 27^{\circ}\\
   \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\\
   \frac{a}{\sin 27^{\circ}} = \frac{12}{\sin 67^{\circ}}\\
   a=\frac{12 \sin 27^{\circ}}{\sin 67^{\circ}}\\
   a \approx 5.9 \text{ m}
   $$
   اگر \(\angle{C} = 94^{\circ}\) ، آن گاه:
   $$
   \angle{A} = 180^{\circ} - 67^{\circ} - 94^{\circ} = 19^{\circ}\\
   \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\\
   \frac{a}{\sin 19^{\circ}} = \frac{12}{\sin 67^{\circ}}\\
   a = \frac{12 \sin 19^{\circ}}{\sin 67^{\circ}}\\
   a \approx 4.2 \text{ m}
   $$
   
2. $$
   \angle{C} = 180^{\circ}-84^{\circ}-42^{\circ}=54^{\circ}\\
   \text{ }\\[2ex]
   \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\\
   \frac{a}{\sin 42^{\circ}} = \frac{50}{\sin 84^{\circ}}\\
   a=\frac{50 \sin 42^{\circ}}{\sin 84^{\circ}}\\
   a \approx 33.6 \text{ m}\\
   \text{ }\\[2ex]
   \frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}\\
   \frac{c}{\sin 54^{\circ}} = \frac{50}{\sin 84^{\circ}}\\
   c=\frac{50 \sin 54^{\circ}}{\sin 84^{\circ}}\\
   c \approx 40.7 \text{ m}
   $$
   
3. $$
   \angle{B} = 180^{\circ} - 22^{\circ} - 39^{\circ} = 119^{\circ}\\
   \text{ }\\[2ex]
   \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\\
   \frac{a}{\sin 22^{\circ}} = \frac{29}{\sin 119^{\circ}}\\
   a=\frac{29 \sin 22^{\circ}}{\sin 119^{\circ}}\\
   a \approx 12.4 \text{ mm}\\
   \text{ }\\[2ex]
   \frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}\\
   \frac{c}{\sin 39^{\circ}} = \frac{29}{\sin 119^{\circ}}\\
   c=\frac{29 \sin 39^{\circ}}{\sin 119^{\circ}}\\
   c \approx 20.9 \text{ mm}
   $$
   
4. $$
   \angle{B} = 180^{\circ} - 48^{\circ} - 61^{\circ} = 71^{\circ}\\
   \text{ }\\[2ex]
   \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\\
   \frac{a}{\sin 48^{\circ}} = \frac{21}{\sin 71^{\circ}}\\
   a \approx 16.5 \text{ cm}\\
   \text{ }\\[2ex]
   \frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}\\
   \frac{c}{\sin 61^{\circ}} = \frac{21}{\sin 71^{\circ}}\\
   c \approx 19.4 \text{ cm}
   $$