برای هر کدام از مثلث های زیر تعیین کنید که آیا هیچ پاسخ، یک پاسخ، یا دو پاسخ دارد.

1. در \(\triangle{ABC}\)، \(\angle{A} = 39^{\circ}\)، \(a=10 \text{ cm}\)، و \(b=14 \text{ cm}\) .
   
2. در \(\triangle{ABC}\)، \(\angle{A} = 123^{\circ}\)، \(a=23 \text{ cm}\)، و \(b=12 \text{ cm}\) .
   
3. در \(\triangle{ABC}\)، \(\angle{A}=145^{\circ}\)، \(a= 18 \text{ cm}\)، و \(b=10 \text{ cm}\) .
   
4. در \(\triangle{ABC}\)، \(\angle{A}=124^{\circ}\)، \(a=1 \text{ cm}\)، و \(b=2 \text{ cm}\) .
   

پاسخ

برای تشخیص اینکه مسأله صفر پاسخ، یک پاسخ، یا دو پاسخ دارد اینگونه عمل می کنیم. ابتدا بررسی می کنیم که \(\angle{A}\) حاده است یا منفرجه. اگر \(\angle{A}\) حاده باشد حالتهای زیر را داریم:
$$
a \ge b \to \text{one solution } (\text{یک پاسخ})\\
a=h \to \text{one solution } (\text{یک پاسخ})\\
a \lt h \to \text{no solution } (\text{بدون پاسخ})\\
b \sin A \lt a \lt b \to \text{two solutions } (\text{دو پاسخ})\\
b \sin A = h
$$
اگر \(\angle{A}\) منفرجه باشد، حالتهای زیر را داریم:
$$
a \le b \to \text{no solution } (\text{بدون پاسخ})\\
a \gt b \to \text{one solution } (\text{یک پاسخ})
$$

1. $$
   h=b \sin A\\
   h=14 \sin 39^{\circ}\\
   h \approx 8.8 \text{ cm}\\
   h \lt a \lt b \\
   8.8 \lt 10 \lt 14
   $$
   این مسأله دو پاسخ دارد.
   
   
2. $$
   a \gt b\\
   23 \gt 12
   $$
   این مسأله یک پاسخ دارد.
   
   
3. $$
   a \gt b\\
   18 \gt 10
   $$
   این مسأله یک پاسخ دارد.
   
   
4. $$
   a \le b\\
   1 \lt 2
   $$
   این مسأله پاسخی ندارد.