مثلث طلایی (golden triangle) یک مثلث متساوی الساقین (isosceles triangle) است که در آن نسبت بین طول ضلع بزرگتر به طول ضلع کوچکتر برابر با نسبت طلایی (golden ratio)، \(\frac{\sqrt{5}+1}{2}:1\)، می باشد. نسبت طلایی در هنر، در ریاضیات، و در معماری یافت می شود. در مثلث طلایی، اندازۀ زاویۀ رأس برابر با \(36^{\circ}\) و اندازۀ دو زاویۀ قاعده برابر با \(72^{\circ}\) می باشند.

1. مثلث موجود در شکل 1 (Figure 1) یک مثلث طلایی می باشد. اندازۀ قاعدۀ (base) آن \(8 \text{ cm}\) می باشد. از قانون سینوس برای تعیین طول دو ضلع برابر این مثلث استفاده کنید.
   
   
   
2. از نسبت طلایی برای تعیین طول دقیق این دو ضلع برابر استفاده کنید.
   
   
3. اگر مشابه شکل 2 (Figure 2) یکی از زوایای قاعده از یک مثلث طلایی را به دو نیم تقسیم کنید (bisect)، مثلث طلایی دیگری مشابه با مثلث اول می سازید. طول ضلع \(CD\) را تعیین کنید.
   
   
   
4. این الگو می تواند مانند شکل 3 تکرار شود. طول \(DE\) را تعیین کنید.
   
   
   
5. توضیح دهید که چگونه منحنی مارپیچی (spiral) که در شکل 4 می بینید، ساخته می شود.
   
   

پاسخ

1. $$
   \angle{C} + \angle{B} = 180^{\circ} - 36^{\circ} = 144^{\circ}\\
   \angle{C} = \angle{B} = \frac{144^{\circ}}{2} = 72^{\circ} \\
   \frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}\\
   \frac{b}{\sin 72^{\circ}} = \frac{8}{\sin 36^{\circ}} \\
   b \approx 12.9 \text{ cm}
   $$
   
2. طبق نسبت طلایی در مثلث طلایی، نسبت بین طول ضلع بزرگتر به طول ضلع کوچکتر برابر با \(\frac{\sqrt{5}+1}{2}:1\) می باشد، پس:
   $$
   \frac{\sqrt{5}+1}{2}:1\\
   8\biggl( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \biggr):8(1)
   $$
   با این نسبت ها طول ضلع بزرگتر برابر خواهد بود با:
   $$
   8\biggl( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \biggr) = 4(\sqrt{5} + 1) \text{ cm}= 4 \sqrt{5} + 4 \text{ cm}
   $$
   
3. $$
   CD=b\\
   \frac{b}{\sin B} = \frac{d}{\sin D}\\
   \frac{b}{\sin 36^{\circ}} = \frac{8}{\sin 72^{\circ}}\\
   b \approx 4.9 \text{ cm}
   $$
   
4. $$
   DE=c\\
   \frac{c}{\sin C} = \frac{d}{\sin D}\\
   \frac{c}{\sin 36^{\circ}} = \frac{4.9}{\sin 72^{\circ}}\\
   c \approx 3.0 \text{ cm}
   $$
   
5. این منحنی مارپیچ (spiral) از متصل کردن رأس های \(36^{\circ}\) در این مثلث های طلایی رو به کاهش، ایجاد می شود.