نویسنده : امیر انصاری

1. بازۀ مقادیری را که ضلع \(a\) می تواند داشته باشد تا \(\triangle{ABC}\) دو پاسخ داشته باشد، اگر \(\angle{A} = 40^{\circ}\) و \(b=50.0 \text{ cm}\) باشند، را تعیین کنید.
   
2. بازۀ مقادیری را که ضلع \(a\) می تواند داشته باشد تا \(\triangle{ABC}\) هیچ پاسخی نداشته باشد، اگر \(\angle{A} = 56^{\circ}\) و \(b=125.7 \text{ cm}\) باشند، را تعیین کنید.
   
3. \(\triangle{ABC}\) دقیقاً یک پاسخ دارد. اگر \(\angle{A} = 57^{\circ}\) و \(b=73.7 \text{ cm}\) باشند، مقادیر ضلع \(a\) چه می باشند تا این امر شدنی باشد؟
   

پاسخ

1. برای اینکه \(\triangle{ABC}\) دو پاسخ داشته باشد باید رابطۀ \(b \sin A \lt a \lt b\) برقرار باشد:
   $$
   b \sin A = 50 \sin 40^{\circ} \\
   b \sin A \approx 32.1 \\
   b \sin A \lt a \lt b \\
   32.1 \lt a \lt 50
   $$
   
   
2. برای اینکه \(\triangle{ABC}\) هیچ پاسخی نداشته باشد باید رابطۀ \(a \lt h\) که معادل \(a \lt b \sin A\) است، برقرار باشد:
   $$
   b \sin A = 125.7 \sin 56^{\circ}\\
   b \sin A \approx 104.2\\
   a \lt 104.2
   $$
   
   
3. برای اینکه این مسأله فقط یک پاسخ داشته باشد، باید رابطۀ \(a=h\) که معادل \(a=b \sin A\) است، برقرار باشد:
   $$
   b \sin A = 73.7 \sin 57^{\circ}\\
   b \sin A \approx 61.8\\
   a = 61.8
   $$
   
4.