قانون کسینوس (cosine law) ارتباط بین کسینوس یک زاویه و طول سه ضلع هر مثلثی را بیان می کند.






در هر \(\triangle{ABC}\) که در آن \(a\)، \(b\)، و \(c\) به ترتیب طول اضلاع مقابل \(\angle{A}\)، \(\angle{B}\)، و \(\angle{C}\) می باشند، قانون کسینوس بیان می دارد که:
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
$$
شما می توانید این فرمول را به اشکال مختلفی بیان کنید تا طول دو ضلع دیگر مثلث مربوطه را بیابید:
$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\\
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B
$$

اثبات قانون کسینوس

در \(\triangle{ABC}\) ارتفاع (altitude) \(h\) را بکشید.


در \(\triangle{BCD}\):
$$
a^2 = h^2 + x^2\\
\cos C = \frac{x}{a}\\
x= a \cos C
$$
در \(\triangle{ABD}\)، با استفاده از قضیۀ فیثاغورث داریم:
$$
c^2 = h^2 + (b-x)^2\\
c^2 = h^2 + b^2 - 2bx + x^2\\
c^2 = h^2 + x^2 + b^2 - 2bx\\
c^2 = \color{red}{a^2} + b^2 - 2b(\color{red}{a \cos C})\\
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
$$