نویسنده : امیر انصاری

پاسخ

1. روش 1: از نقاط و جایگزینی استفاده کنید

   
   شما می توانید معادلۀ این تابع را با استفاده از مختصات رأس و یک نقطۀ دیگر بر روی نمودار بیابید.
   رأس این سهمی در \((5,-4)\) قرار گرفته است، بنابراین \(p=5\) و \(q=-4\) . این نمودار رو به سمت بالا باز می شود، بنابراین مقدار \(a\) بزرگتر از \(0\) می باشد.
   این تابع را به شکل زیر بیان کنید.
   $$
   f(x)=a(x-p)^2+q\\
   f(x)=a(x-\color{red}{5})^2+(\color{red}{-4})\\
   f(x)=a(x-5)^2-4
   $$
   یک نقطۀ دیگر، مانند \((2,-1)\)، بر روی نمودار را انتخاب کنید. مقادیر \(x\) و \(y\) این نقطه را در این تابع جایگزین کنید و آن را برای بدست آوردن \(a\) حل کنید.
   $$
   f(x)=a(x-5)^2-4\\
   \color{red}{-1}=a(\color{red}{2}-5)^2-4\\
   -1 = a(-3)^2-4\\
   -1 = a(9)-4\\
   -1=9a-4\\
   3=9a\\
   \frac{1}{3}=a
   $$
   این معادلۀ درجه دوم در شکل رأس اینگونه است:
   $$
   f(x)=\frac{1}{3}(x-5)^2-4
   $$
   

   روش 2: این نمودار را با نمودار \(f(x)=x^2\) مقایسه کنید

   
   رأس در \((5,-4)\) قرار گرفته است، بنابراین \(p=5\) و \(q=-4\) . این نمودار شامل \(5\) واحد انتقال به سمت راست و \(4\) واحد انتقال به سمت پایین می باشد. این نمودار رو به سمت بالا باز می شود، پس \(a\) بزرگتر از \(0\) می باشد.
   برای تعیین مقدار \(a\)، انتقال ها را لغو کنید و مسافت های عمودی بین نقاط منتقل نشدۀ این سهمی را با نقاط متناظرشان بر روی تابع \(f(x)=x^2\) مقایسه کنید.
   
   
   از آنجا که مسافت های عمودی در مقایسه \(\frac{1}{3}\) می باشند، مقدار \(a\) برابر با \(\frac{1}{3}\) می باشد. نمودار قرمز \(f(x)=\frac{1}{3}x^2\) در مقایسه با نمودار \(f(x)=x^2\)، به صورت عمودی با فاکتوری از \(\frac{1}{3}\) کش آمده است.
   مقادیر \(a=\frac{1}{3}\)، \(p=5\)، و \(q=-4\) را در شکل رأس، \(f(x)=a(x+p)^2+q\)، جایگذاری کنید.
   این تابع درجه دوم در شکل رأس برابر است با:
   $$
   f(x)=\frac{1}{3}(x-5)^2-4
   $$
   
2. شما می توانید معادلۀ این تابع را با استفاده از مختصات رأس و یک نقطۀ دیگر بدست آورید.
   رأس این سهمی در \((0,3)\) قرار گرفته است، بنابراین \(p=0\) و \(q=3\) . نمودار رو به سمت پایین باز می شود، بنابراین مقدار \(a\) کوچکتر از \(0\) می باشد.
   این تابع را اینگونه بیان کنید:
   $$
   f(x)=a(x-p)^2+q\\
   f(x)=a(x-\color{red}{0})^2+\color{red}{3}\\
   f(x)=ax^2+3
   $$
   نقطه ای دیگر بر روی نمودار، مانند \((1,1)\)، را انتخاب کنید. مقادیر \(x\) و \(y\) را در تابع بالا جایگزین کنید و آن را برای بدست آوردن \(a\) حل کنید.
   $$
   f(x)=ax^2+3\\
   \color{red}{1}=a(\color{red}{1})^2+3\\
   1=a+3\\
   -2=a
   $$
   این معادلۀ درجه دوم در شکل رأس برابر است با:
   $$
   f(x)=-2x^2+3
   $$
   

حالا نوبت شماست