خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
مشتق گیری لگاریتمی
فرض کنید که می خواهید مشتق تابعی را که در ادامه آمده است بدست آورید. اکنون می توانید کل اینها را در یکدیگر ضرب کنید و سپس مشتق گیری کنید، اما این کار مشقت فراوانی خواهد داشت. یا همچنین می توانید از قاعدۀ ضرب (product rule) چندین مرتبه استفاده کنید، اما آنهم بسیار خسته کننده و زمانبر خواهد بود. گزینۀ بهتر اینست که از مشتق گیری لگاریتمی (Logarithmic Differentiation) استفاده کنید:
$$f(x)=(x^3-5)(3x^4+10)(4x^2-1)(2x^5-5x^2-10)$$
می پذیرم که این پاسخ کاملاً ترسناک است، و فرآیند حل آن خیلی آسان نیست، اما حرف من را در این زمینه بپذیرید، این روش بسیار ساده تر از سایر روش های جایگزین می باشد.
$$f(x)=(x^3-5)(3x^4+10)(4x^2-1)(2x^5-5x^2-10)$$
-
لگاریتم طبیعی هر دو سمت را بگیرید.
$$ \ln f(x)=\ln \biggl( (x^3-5)(3x^4+10)(4x^2-1)(2x^5-5x^2-10) \biggr) $$
-
اکنون از ویژگی لگاریتم یک حاصلضرب استفاده کنید (اگر این ویژگی یادتان رفته است به فصل 4 نگاهی بیندازید).
$$\ln f(x)=\ln(x^3-5)+\ln(3x^4+10)+\ln(4x^2-1)+\ln(2x^5-5x^2-10)$$
-
مشتق هر دو سمت را بگیرید.
بنابر قاعدۀ زنجیری (chain rule)، مشتق \(\ln f(x)\) برابر است با \(\frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)\) یا \(\frac{f'(x)}{f(x)}\) . \(f(x)\) درست همانند کلمۀ \(\text{stuff}\) در یک مسالۀ قاعدۀ زنجیری معمولی، یا همانند \(y\) در یک مسالۀ مشتق ضمنی کار می کند. برای هر کدام از چهار جملۀ موجود در سمت راست این معادله، از قاعدۀ زنجیری استفاده می کنید:
$$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{3x^2}{(x^3-5)} + \frac{12x^3}{(3x^4+10)}+\frac{8x}{(4x^2-1)}+\frac{10x^4-10}{(2x^5-5x^2-10)}$$
-
هر دو سمت این معادله را در \(f(x)\) ضرب کنید و کار تمام است.
$$f'(x) = \biggl( \frac{3x^2}{(x^3-5)} + \frac{12x^3}{(3x^4+10)}+\frac{8x}{(4x^2-1)}+\frac{10x^4-10}{(2x^5-5x^2-10)} \biggr) \cdot \\
(x^3-5)(3x^4+10)(4x^2-1)(2x^5-5x^2-10)$$
(توجه: مطمئن شوید که این معادلۀ غول پیکر را به درستی می خوانید. سمت راست خط اول در خط دوم ضرب می شود.)
می پذیرم که این پاسخ کاملاً ترسناک است، و فرآیند حل آن خیلی آسان نیست، اما حرف من را در این زمینه بپذیرید، این روش بسیار ساده تر از سایر روش های جایگزین می باشد.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: