ترکیب (Composition) روش دیگری برای آمیختن توابع به یکدیگر می باشد.






این تعریف بر این دلالت دارد که \(f \circ g\) می تواند زمانی شکل بگیرد که بُرد \(g\) در دامنۀ \(f\) قرار گرفته باشد. برای پیدا کردن \((f \circ g)(x)\)، ابتدا \(g(x)\) را بیابید و سپس \(f(g(x))\) را بیابید. شکل \(\text{1.27}\)، \(f \circ g\) را به شکل نمودار یک دستگاه نشان می دهد، و شکل \(\text{1.28}\) این ترکیب را به شکل یک نمودار فلش نشان می دهد.


برای ارزیابی تابع مرکب \(g \circ f\)، ما ابتدا \(f(x)\) را می یابیم و سپس \(g(f(x))\) را می یابیم. دامنۀ \(g \circ f\) شامل مجموعۀ اعدادی از \(x\) است که در دامنۀ \(f\) باشد به نحویکه \(f(x)\) در دامنۀ \(g\) قرار بگیرد.

توابع \(f \circ g\) و \(g \circ f\) معمولاً کاملاً متفاوت می باشند.

مثال 2
اگر \(f(x)=\sqrt{x}\) و \(g(x)=x+1\) موارد زیر را بیابید:

1. \((f \circ g)(x)\)
   
2. \((g \circ f)(x)\)
   
3. \((f \circ f)(x)\)
   
4. \((g \circ g)(x)\)
   

پاسخ:

برای درک اینکه چرا دامنۀ \(f \circ g\) برابر با \([-1,\infty)\) می باشد، توجه کنید که \(g(x)=x+1\) به ازاء تمامی مقادیر حقیقی \(x\) که متعلق به دامنۀ \(f\) باشند تعریف می شود، برای همین \(x+1 \ge 0\)، یعنی \(x \ge -1\) .

توجه کنید که اگر \(f(x)=x^2\) و \(g(x)=\sqrt{x}\)، آن گاه \((f \circ g)(x)=\bigl( \sqrt{x} \bigr)^2 = x\). با این وجود دامنۀ \(f \circ g\) برابر با \([0,\infty)\) است و نه \((-\infty,\infty)\)، از اینرو \(\sqrt{x}\) به \(x \ge 0\) نیاز دارد.