در اینجا به تمرینات مرتبط با مبحث ترکیبات جبری (Algebraic Combinations) می پردازیم. هر چند در ادامه پاسخ تمرینات نیز آمده است اما شدیداً توصیه می کنیم ابتدا تلاش خود را برای حل تمرینات انجام دهید و سپس پاسخ هایتان را با پاسخ های صحیح مقایسه کنید.





در تمرینات 1 و 2 دامنه ها و بردهای \(f\)، \(g\)، \(f+g\)، و \(f \cdot g\) را بیابید.

1. \(f(x)=x, g(x)=\sqrt{x-1}\)
   
   
2. \(f(x)=\sqrt{x+1}, g(x)=\sqrt{x-1}\)
   

در تمرینات 3 و 4 دامنه ها و بردهای \(f\)، \(g\)، \(\frac{f}{g}\)، و \(\frac{g}{f}\) را بیابید.

3. \(f(x)=2, g(x)=x^2+1\)
   
   
4. \(f(x)=1, g(x)=1+\sqrt{x}\)
   

پاسخ تمرینات

1. $$D_f:-\infty \lt x \lt \infty, D_g: x \ge 1 \Rightarrow D_{f+g}=D_{fg}: x \ge 1\\
   R_f:-\infty \lt y \lt \infty, R_g: y \ge 0, R_{f+g}: y \ge 1, R_{fg}: y \ge 0$$
   
2. $$D_f:x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1, D_g: x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 \Rightarrow D_{f+g}=D_{fg}: x \ge 1 \\
   R_f=R_g: y \ge 0, R_{f+g}: y \ge \sqrt{2}, R_{fg}: y \ge 0$$
   
3. $$D_f: -\infty \lt x \lt \infty, D_g: -\infty \lt x \lt \infty, D_{\frac{f}{g}}: -\infty \lt x \lt \infty, D_{\frac{g}{f}}: -\infty \lt x \lt \infty \\
   R_f: y=2, R_g: y \ge1 , R_{\frac{f}{g}}: 0 \lt y \le 2, R_{\frac{g}{f}}: \frac{1}{2} \le y \lt \infty$$
   
4. $$D_f: -\infty \lt x \lt \infty, D_g: x \ge 0, D_{\frac{f}{g}}: x \ge 0, D_{\frac{g}{f}}: x \ge 0\\
   R_f:y = 1, R_g: y \ge 1, R_{\frac{f}{g}}: 0 \lt y \le 1, R_{\frac{g}{f}}: 1 \le y \lt \infty$$