تمرین 1: توابع درجه دوم در شکل رأس

از تبدیلات (transformations) برای توضیح اینکه نمودار هر کدام از توابع درجه دوم زیر چگونه با نمودار $f(x)=x^2$ مقایسه می شود، استفاده کنید. رأس، محور تقارن، جهت باز شدن، مقدار ماکزیمم یا مینیمم، و دامنه و برد هر تابع را بدون ترسیم نمودار تعیین کنید.

$$
f(x)=(x+6)^2 - 14
$$
$$
f(x)=-2x^2+19
$$
$$
f(x)=\frac{1}{5}(x-10)^2+100
$$
$$
f(x)=-6(x-4)^2
$$

پاسخ

نمودار $f(x)=(x+6)^2 -14$ در مقایسه با نمودار $f(x)=x^2$ اینگونه است:
از آنجا که $a=1$ است، شکل هر دو نمودار یکسان است.
از آنجا که $p=-6$ و $q=-14$ است، در مقایسه با $f(x)=x^2$، به میزان $6$ واحد به سمت چپ و $14$ واحد به سمت پایین منتقل شده است.

رأس: $(-6,-14)$
معادلۀ محور تقارن: $x=-6$
سهمی رو به بالا باز می شود.
مقدار مینیمم: $-14$
دامنه: $\{x| x \in R \}$
برد: $\{ y| y \ge -14, y \in R \}$
نمودار $f(x)=-2x^2+19$ در مقایسه با نمودار $f(x)=x^2$ باریکتر است و از آنجا که $a \lt -1$ است، در محور $x$ بازتاب می یابد و رو به سمت پایین باز می شود. از آنجا که $p=0$ و $q=19$، یک انتقال عمودی به میزان $19$ واحد دارد.

رأس: $(0,19)$
معادلۀ محور تقارن: $x=0$
سهمی رو به پایین باز می شود.
مقدار ماکزیمم: $19$
دامنه: $\{x| x \in R \}$
برد: $\{ y| y \le 19, y \in R \}$
نمودار $f(x)=\frac{1}{5}(x-10)^2+100$ در مقایسه با $f(x)=x^2$ عریض تر است، زیرا $0 \lt a \lt 1$. از آنجا که $p=10$ و $q=100$، یک انتقال افقی به میزان $10$ واحد به سمت راست و یک انتقال عمودی به میزان $100$ واحد به سمت بالا داریم.

رأس: $(10,100)$
معادلۀ محور تقارن: $x=10$
سهمی رو به بالا باز می شود.
مقدار مینیمم: $100$
دامنه: $\{x| x \in R \}$
برد: $\{ y| y \ge 100, y \in R \}$
از آنجا که $a \lt -1$ است، شکل نمودار $f(x)=-6(x-4)^2$ نسبت به $f(x)=x^2$ باریکتر است و در امتداد محور $x$ بازتاب می یابد. از آنجا که $p=4$ و $q=0$، یک انتقال افقی به میزان $4$ واحد به سمت راست داریم.

رأس: $(4,0)$
معادلۀ محور تقارن: $x=4$
سهمی رو به پایین باز می شود.
مقدار ماکزیمم: $0$
دامنه: $\{x| x \in R \}$
برد: $\{ y| y \le 0, y \in R \}$