تمرین 16: آزمون تمرینی فصل 3، پاسخ طولانی

فروشگاهی شکلات های انرژی زا به قیمت $$2.25$ می فروشد. در این فروشگاه در سال گذشته با این قیمت به طور میانگین هر ماه $120$ شکلات فروخته شد. به مدیر این فروشگاه گفته شده است که به ازاء هر $5 \text{ ¢}$ کاهش قیمت، می تواند انتظار داشته باشد که هشت شکلات بیشتر بفروشد.

برای مدلسازی این وضعیت از چه تابع درجه دومی می توانید استفاده کنید؟
از یک روش جبری برای تعیین ماکزیمم درآمدی که این مدیر می تواند انتظار داشته باشد، استفاده کنید. چه قیمتی منجر به دستیابی به ماکزیمم درآمد می شود؟
در این وضعیت چه مفروضاتی در نظر گرفته شده اند؟

پاسخ

اجازه دهید $n$ نشان دهندۀ تعداد کاهش قیمت ها باشد. در آن صورت قیمت جدید برابر خواهد بود با: $2.25-0.05 \text{ n}$ (نکته: سنت را به دلار تبدیل کرده ایم)
تعداد شکلات های انرژی زایِ فروخته شدۀ جدید برابر خواهد بود با: $120+8 \text{ n}$
اجازه دهید $R$ نشان دهندۀ درآمد (revenue) مورد انتظار باشد:
$$
R = (2.25-0.05 n)(120+8 n)\\
R=270+18n - 6 n - 0.4 n^2\\
R=-0.4n^2 + 12n + 270
$$
ابتدا با روش کامل کردن مربع، این تابع را به شکل رأس تبدیل می کنیم:
$$
R=-0.4(n-15)^2+360
$$
ماکزیمم درآمدی که مدیر این فروشگاه می تواند انتظار داشته باشد برابر با $$360$ در ماه می باشد. هنگامی به این ماکزیمم درآمد می رسد که قیمت هر شکلات برابر با $2.25-0.05(15)$ یا بعبارتی $$1.50$ باشد.
فرض گرفته شده است که پیش بینی ها درست از آب در بیایند.