مصرف بنزین یک وسیلۀ نقلیه به سرعت رانندگی آن بستگی دارد و معمولاً در واحد لیتر بر یکصد کیلومتر مشخص می شود. در حالت کلی، موتورها در سرعت های بالا کارآمد تر از سرعت های پایین هستند. در یک خودروی خاص، در سرعت ثابت، مصرف بنزین، \(C\)، در واحد لیتر بر یکصد کیلومتر، به میانگین سرعت رانندگی، \(v\)، توسط تابع \(C(v)=0.004v^2-0.62v+30\) مرتبط است.

1. بدون ترسیم نمودار، ماکزیمم سرعت بهینه ای که این خودرو باید در آن سرعت رانده شود را تعیین کنید. استراتژی مورد استفادۀ تان را توضیح دهید یا نشان دهید.
   
2. هر نوع ویژگی دیگری را که بدون ترسیم نمودار این تابع می توانید تعیین کنید را توصیف کنید و توضیح دهید که از کجا این ویژگی را می دانید.
   

پاسخ

1. ابتدا این تابع را در شکل رأس می نویسیم:
   $$
   C(v)=0.004(v-77.5)^2+5.975
   $$
   بهینه ترین سرعت برای این خودرو \(77.5 \frac{\text{k}}{\text{h}}\) می باشد و در این سرعت مصرف بنزین \(5.975 \frac{\text{L}}{100 \text{km}}\) خواهد بود. این مقادیر را از روی رأس این تابع بدست می آوریم.
   
   
2. بدون ترسیم نمودار می توانیم رأس، محور تقارن، مقدار ماکزیمم یا مینیمم، دامنه، برد، و عرض از مبدأ را بیابیم. ابتدا تابع مربوطه را در شکل رأس، \(y=a(x-p)^2+q\)، می نویسیم و سپس از روی مقادیر \(a\)، \(p\)، و \(q\) می توانیم این اطلاعات را بدست آوریم. اگر \(a\) مثبت باشد جهت باز شدن نمودار رو به بالا است و سهمی دارای مقدار مینیمم می باشد که همان \(p\) است. اگر \(a\) منفی باشد جهت باز شدن سهمی رو به پایین است و سهمی دارای مقدار ماکزیمم می باشد که همان \(p\) است. رأس در \((p,q)\) قرار دارد. محور تقارن با رابطۀ \(x=p\) بدست می آید. به کمک \(p\) و جهت باز شدن سهمی می توان برد تابع را تعیین کرد. دامنۀ توابع درجه دوم به طور پیش فرض برابر با \(\{x| x \in R \}\) می باشد و شامل تمامی اعداد حقیقی می گردد. با جایگزین کردن \(0\) در \(x\) می توانیم عرض از مبدأ تابع را بدست آوریم.