نویسنده : امیر انصاری

1. تابعی بنویسید که مساحت کل این شکل را به لحاظ فاصله از دیوار، نشان دهد.
   
2. نشان دهید که این تابع در تعریف یک تابع درجه دوم می گنجد.
   
3. نمودار این تابع را ترسیم کنید. استراتژی مورد استفادۀ تان را توضیح دهید.
   
4. مختصات رأس چه هستند؟ آنها چه چیزی را نشان می دهند؟
   
5. در این وضعیت دامنه و برد این تابع چیست؟ توضیح دهید.
   
6. آیا این تابع دارای یک مقدار ماکزیمم است؟ آیا دارای یک مقدار مینیمم است؟ توضیح دهید.
   
7. در استفاده از این مدل تابع درجه دوم چه مفروضاتی در نظر گرفته شده اند؟
   

پاسخ

1. اجازه دهید \(x\) نشان دهندۀ عرض مستطیل کوچک باشد.
   
   عبارتی برای کل فنس ها بنویسید:
   $$
   24=4d+3x\\
   x=8-\frac{4}{3}d
   $$
   تابعی برای مساحت کل بنویسید:
   $$
   A(d)=d(3x)\\
   A(d)=d \biggl( 3(8-\frac{4}{3}d) \biggr)\\
   A(d)=24d - 4d^2\\
   A(d)=-4d^2 + 24d
   $$
   
2. از آنجا که این تابع یک چندجمله ای درجه دوم می باشد، در تعریف یک تابع درجه دوم می گنجد.
   
   
3. با روش کامل کردن مربع، رأس این تابع را می یابیم.
   $$
   A(d)=-4(d-3)^2+36
   $$
   رأس این تابع \((3,36)\) می باشد.
   سپس عرض از مبدأ را با جایگذاری \(0\) در این تابع بدست می آوریم.
   $$
   A(\color{red}{0})=-4(\color{red}{0}-3)^2+36\\
   A(0)=0
   $$
   همینطور با توجه به محور تقارن، \(x=3\)، نقطۀ متناظر عرض از مبدأ در سمت دیگر سهمی را می یابیم.
   $$
   (6,0)
   $$
   این سه نقطه را در صفحۀ مختصات مشخص می سازیم و یک منحنی نرم ترسیم می کنیم.
   
   
   
4. مختصات رأس: \((3,36)\)
   مختصات \(y\) از رأس، نشان می دهد که ماکزیمم مساحت ممکن این شکل برابر با \(36 \text{ m}^2\) می باشد. مختصات \(x\) از رأس نشان می دهد که این ماکزیمم مساحت، زمانی رخ می دهد که فاصله از دیوار برابر با \(3 \text{ m}\) باشد، بعبارتی \(d=3 \text{ d}\) باشد.
   
   
5. دامنه: \(\{d| 0 \le d \le 6, d \in R \}\)
   برد: \(\{A| 0 \le A \le 36, A \in R \}\)
   فاصلۀ منفی و همینطور مسافت منفی، بی معنا می باشند.
   
   
6. این تابع هم دارای مقدار ماکزیمم و هم دارای مقدار مینیمم می باشد. مقدار ماکزیمم این تابع \(36\) و مقدار مینیمم آن \(0\) می باشد. در مقدار ماکزیمم \(d=3\) و در مقدار مینیمم \(d=0\) یا \(d=6\) می باشند.
   
   
7. فرض گرفته ایم که کل فنس مورد استفاده قرار گیرد. همچنین فرض گرفته ایم که طول این دیوار تا \(12\) متر امتداد داشته باشد، چون ماکزیمم مساحت ممکن برابر با \(36 \text{ m}^2\) می باشد و این مساحت در حالی بدست می آید که \(d=3\) باشد، پس در این وضعیت ضلع دیگر مستطیل برابر با \(12 \text{ m}\) خواهد بود که در نتیجۀ آن \(A=3 \text{ m} \times 12 \text{ m} = 36 \text{ m}^2\) می شود.