معادلۀ \(|x-10| = x^2 - 10x\) را حل کنید.

پاسخ

به کمک تعریف قدر مطلق داریم:
$$
|x-10|=
\begin{cases}
x-10, \text{ if } x \ge 10\\
-(x-10), \text{ if } x \lt 10
\end{cases}
$$

حالت 1

$$
x-10=x^2 - 10x\\
0=x^2 - 11x + 10\\
0 = (x-10)(x-1)\\
x-10=0 \\
x=10\\
x-1=0\\
x=1
$$
تنها \(x=10\) شرط \(x \ge 10\) را برآورده می سازد، بنابراین \(x=1\) یک ریشۀ اضافی است.

حالت 2

$$
-(x-10)=x^2 - 10x\\
-x+10 = x^2 - 10x\\
0=x^2 - 9x -10\\
0 = (x-10)(x+1)\\
x-10=0\\
x= 10\\
x+1=0\\
x=-1
$$
تنها \(x=-1\) شرط \(x \lt 10\) در این حالت را برآورده می سازد. اما \(x=10\) شرط موجود در حالت \(1\) را برآورده می سازد، بنابراین پاسخ های این معادله \(x=10\) و \(x=-1\) می باشند.

حالا نوبت شماست

معادلۀ \(|x-5|=x^2 -8x +15\) را حل کنید.