نویسنده : امیر انصاری

پاسخ

• حاصل عبارت \(4096 \times 65536\) را به صورت توان دار بنویسید. $$
  4096 = 4^6\\
  65536 = 4^8\\
  4096 \times 65536 = 4^6 \times 4^8 = 4^{14}
  $$
  
• تعداد رقم های \(4^{10}\) را پیش بینی کنید. فکر می کنید \(4^{20}\) چند رقمی می شود، چرا؟
  طبق این جدول این الگو را داریم:
  
  • در توان های \(1\) و \(2\) تعداد ارقام با توان یکسان است. در اینجا توان \(0\) یک استثناء است.
    
  • در توان های \(3\) تا \(5\) تعداد رقم ها برابر است با توان منهای یک.
    
  • در توان های \(6\) تا \(7\) تعداد رقم ها برابر است با توان منهای دو.
    
  • در توان \(8\) تعداد رقم ها برابر است با توان منهای سه.
    
  
  اگر فرض بگیریم که همین الگو ادامه می یابد، و در توان های بزرگتر از \(8\) تعداد رقم ها تقریباً با توان منهای سه می باشد، تعداد رقم های \(4^{10}\) برابر با \(10-3=7\) رقم می باشد. همچنین در \(4^{20}\)، تعداد رقم ها برابر با \(20-3=17\) می باشد. با توجه به اینکه تقریباً در هر دو افزایش توان، این فرمول به نحوی تغییر می کند که الگوی تعداد رقم ها و توان ها تغییر می کنند، اگر بخواهیم این موضوع را هم در حدسمان بگنجانیم، می توانیم تعداد ارقام \(4^{20}\) را با فرمول \(20-8 = 12\) حدس بزنیم تا دقیق تر عمل کرده باشیم.
  
  نکته: اگر با ماشین حساب این مقادیر را محاسبه کنیم، خواهیم داشت:
  $$
  4^{10}=1,048,576\\
  4^{20}=1,099,511,627,776
  $$
  همانطور که می بینید، تعداد ارقام دقیق \(4^{10}\) برابر با \(7\) رقم و تعداد ارقام دقیق \(4^{20}\) برابر با \(13\) رقم می باشد. در نتیجه حدس های ما خیلی نزدیک به واقعیت بوده اند.