نقطۀ \((x,y)\) را نقطه ای بر روی نمودار \(y=\sqrt{x-3}\) در نظر بگیرید. فرض کنید \(L\) فاصلۀ بین نقاط \((x,y)\) و \((4,0)\) باشد. \(L\) را به شکل تابعی از \(y\) بنویسید.

پاسخ

از آنجا که این مسئله \(L\) را به شکل تابعی از \(y\) می خواهد، ابتدا تابع اصلی نمودار را برای بدست آوردن \(x\) حل می کنیم:
$$
y = \sqrt{x-3}\\
y^2 = x-3\\
y^2 +3 = x
$$
در ادامه \(L\) را با فرمول مسافت محاسبه می کنیم:
$$
L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\\
L = \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 0)^2}\\
L = \sqrt{(x - 4)^2 + y^2}\\
L = \sqrt{ x^2 -8x + 16 + y^2}
$$
در ادامه هر جا که \(x\) داریم، آن را با معادل آن به لحاظ \(y\) جایگزین می کنیم تا به خواستۀ مسئله برسیم:
$$
L = \sqrt{ x^2 -8x + 16 + y^2}\\
L = \sqrt{ (y^2 + 3)^2 -8(y^2 + 3) + 16 + y^2}\\
L = \sqrt{ y^4 + 6y^2 + 9 -8(y^2 + 3) + 16 + y^2}\\
L = \sqrt{ y^4 + 6y^2 + 9 -8y^2 -24 + 16 + y^2}\\
L = \sqrt{ y^4 -y^2 +1}
$$
در نهایت \(L\) به شکل تابعی از \(y\) اینگونه تعریف می شود:
$$
L(y) = \sqrt{ y^4 -y^2 +1}
$$